专题2.5 利用导数研究恒成立与存在性问题（3类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（北师大版2019选择性必修第二册）

专题2.5 利用导数研究恒成立与存在性问题 【考点1：恒成立问题】 1 【考点2：存在性问题】 9 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 14 【考点1：恒成立问题】 【知识点：恒成立问题】 (1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. [方法技巧] 不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解．　　 1．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高三专题练习）设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（渝琼辽（新高考2卷）2023年高三下学期名校仿真模拟联考数学试题）已知函数满足，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知，函数，下列结论正确的是（    ） A．一定存在最小值 B．可能不存在最小值 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 7．（2023秋·浙江·高三期末）已知函数 ，若恒成立，则k的最小值是______________． 8．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为______. 9．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）若不等式恒成立，则实数的最小值为__________. 10．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知函数． (1)当a=1时，求函数的单调区间； (2)若在定义域内恒成立，求a的取值范围． 11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； 【考点2：存在性问题】 【知识点：存在性问题】 (1)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (2)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2. [方法技巧] 不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．　　 1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，＋∞） B．（－∞，－3） C．（－∞，1] D．[3，＋∞） 2．（2022·高二单元测试）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·山东德州·高三统考期中）已知命题.若为假命题，则的取值范围为_____. 4．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________. 5．（2022秋·河南·高二校联考期末）已知函数在处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围． 6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 7．（2022春·北京顺义·高二北京市顺义区第一中学校考期中）已知函数. (1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【考点3：恒成立与存在性综合问题】 【知识点：恒成立与存在性综合问题】 （1）设函数、，对任意的，存在，使得，则 （2）设函数、，对任意的，存在，使得，则。 （