2.6用导数研究函数的性质课前导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6用导数研究函数的性质 知识填空 1.导数的符号与函数单调性之间的关系： （1）若在某个区间上，函数的导数______________，则在这个区间上，函数单调递增； （2）若在某个区间上，函数的导数______________，则在这个区间上，函数单调递减. 若在某个区间上，___________，且_____________________，则在这个区间上，函数单调递增； 若在某个区间上，___________，且_____________________，则在这个区间上，函数单调递减. 2.极值概念： 在包含的一个区间上，函数在任何不为的一点处的函数值________点处的函数值，称点为函数的极大值点，其函数值为函数的________. 在包含的一个区间上，函数在任何不为的一点处的函数值________点处的函数值，称点为函数的极小值点，其函数值为函数的_______. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 3.求函数的极值的方法：解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极 值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极 值. 4.函数的最值：函数在区间上所有点处的函数值都______________. 只要把函数的所有 与区间端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 思维拓展 1.利用导数解决单调性问题需要注意哪些问题？ 2.利用导数证明或判断函数单调性的思路是什么？ 3.函数极值点的个数只有一个吗？ 基础练习 1.如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 2.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 3.（多选）下列关于函数极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值可大于它的极大值 C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值 D.若在区间上有极值，则在区间上不单调 4.已知是函数的极值点，则( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.设是区间上的连续函数，且在内可导，则( ) A.的极值点一定是最值点 B.的最值点一定是极值点 C.在区间上可能没有极值点 D.在区间上可能没有最值点 6.求下列函数的最值： （1），； （2），. 【答案及解析】 一、知识填空 1.；；；只在有限个点为0；；只在有限个点为0 2.都小于；极大值；都大于；极小值 3.大；小 4.不超过；导数零点 二、思维拓展 1.（1）定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. （2）注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义域的间断点. 2.利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断的正负或证明不等式（或）在给定区间内恒成立，一般步骤如下：①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论. 3.函数的极值点不是唯一的，即一个函数在某个区间内或定义域内的极大值点或极小值点可以不止一个 三、基础练习 1.答案：A 解析：函数的单调性自左至右依次为：增→减→增→减，因此对应的的函数值的正负应满足：正→负→正→负，故选A. 2.答案：C 解析：由题意得，令，解得，所以函数的单调递增区间是. 3.答案：BD 解析：对于A，若，则，令，得，而在R上为增函数，所以无极值，所以导数值为0的点不一定是函数的极值点，故A错误.对于B，因为函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数的极小值可大于它的极大值，故B正确.对于C，函数在R上为增函数，所以在定义域内无极值，故C错误.对于D，若在区间上有极值，则在区间上有增有减，由单调性的定义可知在区间上不单调，故D正确. 4.答案：C 解析：由题可得.因为是函数的极值点，所以，解得，经检验符合题意. 5.答案：C 解析：根据函数的极值与最值的概念，知在闭区间上的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以A，B，D错误.若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确.故选C. 6.答案：（1）的最大值为2，最小值为-2 （2）在上的最大值为，最小值为 解析：（1），， 令，得或-1. 在上，当x变化时，与的变化情况如下表： x -1 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 又，，，， 所以的最大值为2，最小值为-2. （2）因为，， 所以，. 令，得. 在上，当x变化时，与的变化情况如下表： x 1 - 0 + 极小值 所以在上，当时，取得极小值，也是最小值，且. 又，，，所以，所以在上的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$