2.5.2 椭圆的几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.5.2　椭圆的几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解椭圆的简单应用． 教学重点：1.椭圆的几何性质.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响． 核心素养：通过利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　椭圆的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 知识点二　椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 知识点三　椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. (2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. 椭圆＋＝1(a>b>0)与椭圆＋＝λ和椭圆＋＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　) (2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为a.(　　) (4)椭圆＋＝1的焦距为6.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)椭圆＋y2＝1的离心率为________． (2)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________． (3)椭圆mx2＋ny2＝－mn(m<n<0)的焦点坐标为________． 答案　(1)　(2)[－5，5]　(3)(0，±) 题型一　椭圆的几何性质 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆的方程可化为＋＝1， ∵m－＝>0，∴m>. ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝， c＝＝. 由e＝，得＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 感悟提升 解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置． (1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率． (2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键． [跟踪训练1]　(1)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的焦距是8，则椭圆的长轴长为(　　) A．40 B．4 C．2 D．20 答案　B 解析　由题意得m＝4＋16＝20，则椭圆的半长轴长为2，长轴长为4.故选B. (2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　) A．范围相同 B．顶点坐标相同 C．焦点坐标相同 D．离心率相同 答案　D 解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤