2.5.1 椭圆的标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.5.1　椭圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：1.通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过椭圆标准方程的求解培养数学运算素养． 知识点一　椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 1．对椭圆定义的理解 设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a. (1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段． (3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． (3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) (4)方程x2＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________． (3)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝8，则|AB|＝________． 答案　(1)A　(2)18　(3)4 题型一　椭圆的定义 例1　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③已知定点F1(0，6)，F2(0，－6)，则满足|PF1|＋|PF2|＝14的点P的轨迹为椭圆； ④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． [解析]　①因为<2，所以点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③因为|PF1|＋|PF2|＝14>12，所以点P的轨迹为椭圆；④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． [答案]　②③ 感悟提升 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． [跟踪训练1]　(1)(2023·邳州市校级月考)已知F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 答案　C 解析　∵a＋≥2×3＝6＝|F1F2|(a>0)，当且仅当a＝3时取等号，∴由椭圆的定义得，当a＋＝6时，点P的轨迹为线段；当a＋>6时，点P的轨迹为椭圆．故选C. (2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 答案　B 解析　连接EA，OA(图略)，根据线段垂直平分线的性质，可得|EA|＝|EB|，|EO|＋|EA|＝|OB|>|OA|，即点E到点O和点A的距离之和等于圆