2.4 曲线与方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1.了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法． 教学重点：1.曲线与方程的概念.2.求动点的轨迹方程． 教学难点：1.分析、判断曲线与方程的关系.2.求动点的轨迹方程． 核心素养：1.通过学习曲线的方程与方程的曲线的概念培养数学抽象素养.2.通过在具体问题情境中求曲线的方程，并利用求出的曲线方程研究曲线的性质培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 知识点二　两曲线的交点 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组求方程组的实数解就可以得到． 知识点三　点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 知识点四　求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． 1．曲线与方程概念的理解 (1)建立平面直角坐标系后，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x与纵坐标y之间有一定关系，这个关系通常用关于x，y的方程F(x，y)＝0表示出来．也就是说，曲线的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了．因此，曲线和方程的概念有它的纯粹性和完备性．“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的(纯粹性)；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上(完备性)．只有同时具备了上述两个条件才能称方程F(x，y)＝0为曲线C的方程，同时称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线．它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性． (2)从集合的意义上来理解曲线和方程的概念 如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F(x，y)＝0的解所对应的点的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A＝B. 从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念． 2．对求动点M轨迹方程步骤的几点说明 (1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单． (2)第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除． (3)求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形(曲线的形状)，而轨迹方程则是一个方程． 3．求动点轨迹方程常见的方法 (1)直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式(等式)的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质． (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征． (3)代入法 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法(又称相关点法)． (4)参数法 如果所求轨迹的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法中常选变角、变斜率等为参数． 注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围． ②化简方程前后要注意等价性． 1．判一判(正确的打“√”，错误