2.3.2 圆的一般方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.3.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过根据给定条件求圆的一般方程，并通过用圆的一般方程解决问题提升数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　圆的一般方程的定义 (1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． (3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 知识点二　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0，②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)方程2x2＋y2－7y＋5＝0不表示圆．(　　) (3)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示圆．(　　) (4)方程x2＋y2＋x＋y＋1＝0表示圆．(　　) (5)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)不表示圆．(　　) (6)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× (6)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________． (2)过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________． (3)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________． (4)若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________． 答案　(1)(2，－3)　(2)x2＋y2－3x－4y＝0 (3)m<1　(4)1 题型一　圆的一般方程的定义 例1　(2023·天津市蓟州中学高二期中)已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值． [解]　(1)原方程可化为(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4， 若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1<m<4， 即实数m的取值范围是(－1，4)． (2)圆的半径r＝ ＝≤， 当且仅当m＝时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为5π. 感悟提升 二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径． [跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得 x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二　求圆的一般方程 例2　已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． [解]　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kABkBC＝－1，且kAB＝＝－， 所以kBC＝＝， 解得m＝3