2.3.2 圆的一般方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

2.3.2 圆的 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程。 3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 4.能根据某些具体条件，运用待定系数 法确定圆的方程，并能解决相关实际问题 5.结合具体实例，初步了解二元二次方 程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系」 要点精析 川要点1二元二次方程表示圆的条件 1.圆的一般方程 一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可以化为x2+y2-2ax-2by+2+b2-r2=0.在这个 方程中，如果令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2- 2,则这个方程可以表示成x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D,E,F为常数)，称为圆的一般方程。 2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 的图形 一般地，+r+D+Ey+F=0台x+?}+ 4E}2=D+E-4F 2 4 条件 图形 D2+E2-4F0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点-分，号 表示以号，-号为圆心，以 D2+E2-4F0 D+E4F为半径的圆 2 第二章平面解析几何。 的一般方程 思考方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是什么？ 例1若方程x2+y2+2a+2ay+2d2+a-1=0 表示圆，则a的取值范围是 反思感悟 判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示 国，关键是将其配方成+号++号月 D㎡+E-4E的形式，最后转化为判断DP+EP- 4 4F的正负问题. P变式训练① (多选题)在平面内，已知线段AB的长 度为4，则满足下列条件的点P的轨迹为圆 的是() A.∠APB=90° B.IPAP+IPBP2=10 C.PA.PB=-6 D.IPAI=3IPBI 川要点2求圆的一般方程 确定圆的一般方程的主要方法是待定系 数法，即列出关于D,E,F的方程组，求 出D,E,F的值，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的一般方程 为x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)根据已知条件，建立关于D,E,F 的方程组. (3)解方程组，求出D,E,F的值，并 把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆 的一般方程. 例2已知△ABC的三个顶点为A(1, 4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外 学(63 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 接圆方程、外心坐标和外接圆半径 变式训练2 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直 线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长 为V2,求圆的一般方程. 川要点3与圆有关的轨迹问题 求曲线的轨迹问题，现阶段一般有两种 方法：一是直接法，即把动点满足的条件直 接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入 法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x, y)与相关点(xo,yo)建立等式，再把xo, yo用x,y表示后代入到它所满足的曲线的 方法.解题时要注意条件的限制. 例3点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定 点，点B(1,1)是圆内一点，点P为圆上 的动点 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)求BP的中点E的轨迹方程， (64)学 B变式训练③ 在平面内，A,B是两个定点，C是动 点，若AC,BC=1,则点C的轨迹为() A.圆 B.圆的一部分 C.线段 D.直线 数学文化 例卡西尼卵形线是1675年卡西尼在 研究土星及其卫星的运行规律时发现的.在 数学史上，同一平面内到两个定点（称为焦 点)的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西 尼卵形线.已知卡西尼卵形线是中心对称图 形且有唯一的对称中心.若某卡西尼卵形线 C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦 点的距离之积为1，则C上的点到其对称中 心距离的最大值为() A.1 B.V2 C.V3 D.2 分析设左、右焦点分别为F,F, 以线段FF2的中点为坐标原点，F,F所 在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设 曲线上任意一点P(x,y),由已知建立曲 线方程，化简得该卡西尼卵形线的方程为 (x2+y2)2=2(x2-y2),由此可得选项.高中数学选择性必修第一册人教B版 2,b=V2a. 所以cosC=h2-e2-3d-4 2ab 2V2a 从而SAB= absinc-VVI-coxC -竖 8a2 =子V8-6a4 =V-G-2412s 故当a=2V3时，△ABC的面积取得最大值2V2. 解法2：建立如图所示的平 面直角坐标系，则A(-1,0), B(1,0),设C(x,y)(y≠0)， 因为AC=V2BC,所以 V(+1)+y=V2V(x-1)+y7, 化简得：(x-3)2+y2=8,所以点C 例6答图 的轨迹是以T(3,0)为圆心，2V2为半径的圆，不含 x轴上的两个点， 当点C位于如图所示位置时，SAc取得最大值，且 (5eur)a-3×2x2V7-2Vz. 变式训练442V3【解析】点0(0,0)在圆内，最 长的弦为过点0的直径，∴.最长的弦长为2r=4.最短弦 是过点O且与过点O的直径垂直的弦，O(0,0)与圆 心的距离为1，..最短弦长为2√4-1=2V3 数学文化 ABD【解析】设P(x,y),由A(-2,O),B(4,O), 瑞分 可得1V(x-4)+y2=2V(x+2)+2, 两边平方整理可得x2+2+8x=0, 即为(x+4)2+y2=16, 故曲线C的方程为(x+4)2+y2-16,故A正确； 曲线C的方程表示圆心为(-4,0)，半径为4的圆， 点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为V26-4,最 大值为V26+4, 而3∈[V26-4,V26+4],故B正确： 设M(x1,h),由M0=2MA,可得 Vxrtyr=2V(x+2)ty, 两边平方整理可得4y+5-0。 44 联立方程x+8=0与++9+90，解得 3 x=2,h无实数解，故C错误； 设N(2,2),由INOP+lNAP=4,可得2+y2+(x+2)2+ 2=4, 整理可得x22+y2+2x2=0,联立方程x22+y22+8x2=0与 x22+y2+2-0,解得x=0,y2=0,故D正确. 故选ABD 2.3.2圆的一般方程 要点精析 例1a<1【解析】把方程配方得(x+a)P+(y+a)2=1-a,若 该方程表示圆，则需1-心0，即a<1. 变式训练1BD【解析】以线段AB所在直线为x轴， 线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-2, 0),B(2,0),设P(x,y)· 对于A,若∠APB=90°，则点P的轨迹是x2+y2=4 (y≠0)，故A不符合题意； 对于B,PBP+PAP=10,即x2+2=1,所以点P轨迹 为圆，B符合题意； 对于C,PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,y),所以 PA.PB=x2+y2-4=-6,即x2+y2=-2,显然不成立，故C不 符合题意； 对于D,由IPAI=3IPBl,得IPAP=91PB,x2+y2-5x+ 4-0,点P轨迹是以各，0为圆心，=号的圆，放D 符合题意 故选BD 例2解：方法一：设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0,A,B,C在圆上， {1+16+D+4E+F=0, D=-2, ..4+9-2D+3E+F=0,解得E=2, 16+25+4D-5E+F=0 F=-23 .△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x 1)2+(y+1)2=25 .外心坐标为(1，-1)，外接圆半径为5. 方法三：号写产-3，k6 -1,∴AB⊥AC .△ABC是以角A为直角的直角三角形，.外心是 线段BC的中点，坐标为(1，-1)，=号BC=5.外接 圆方程为(x-1)24(y+12=25. 变式训练2解：圆心C号，号， :圆心在直线x+-10上.心号-号-10， 即D+E=-2.① 又半径长=VD+2-V2, 2 ∴.D2+E2=20.② D=2, D=-4, 由①②可得 或 E=-4E=2. D=2. 又：圆心在第二象限，一90，即0，则 E--4 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 例3解：(1)设线段AP的中点为M(x,y), 由中点公式得点P的坐标为(2-2,2y). .·点P在圆x2+2=4上，..(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2-1. (2)设点E(x,y),P(o,yo). x=+1 2 B(1,1),. 整理得x=2x-1,yw=2y-1, 0s2+1 21 点P在圆x2+y2=4上，.点P的坐标满足方程x2+ y2=4,.(2x-1)2+(2y-1)2=4,整理得点E的轨迹方程为 4r-r30 变式训练3A【解析】以AB所在直线为x轴，AB的 中点为原点，建立平面直角坐标系（图略）· 设C(x,y),A(-c,0),B(c,0),c>0. AC=(x+c,y),BC=(x-c,y), 由AC.BC=1,得(x+c)(-c)+y2=1,即x2+y2=c2+1> 0,.点C的轨迹为圆，故选A 数学文化 B【解析】设左、右焦点分别为F,E,以线段FF 的中点为坐标原点，F,F所在的直线为x轴建立平面 直角坐标系（图略），则F(-1,0),F(1,0). 设曲线上任意一点Px,y),则V++.V(x-1)+y =1,化简得该卡西尼卵形线的方程为(x2+y2)2-2(x2-y2). 将x替换为-x,y替换为-y,方程不变，显然其对称中 心为(0,0). 由(x2+y22=2(x2-y2)得(x2+y2）2-2(x2+y2)=-4y2≤0， .(x2+y22≤2(x2+y2),0≤x2+y2≤2， .0≤Vx2+y2≤V2, :.该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大 值为V2.故选B. 参考答案。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 要点精析 例1解：方法一：将直线mx-y-m-1=0代人圆的方程 化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, .△=4m(3m+4). ()当A0时，即m>0或m<-号时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点 (2)当40时，即m-0或m=号时，直线与圆相 切，即直线与圆只有一个公共点 3)当40时，即号n0时，直线与圆相离，即 直线与圆没有公共点. 方法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即 圆心为C(2,1),半径=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d= 2m-1-m-1=m-2L 1V1+m2V1+m2 (1)当d<2时，即m>0或m<-4时，直线与圆相 3 交，即直线与圆有两个公共点 (2)当d2时，即m0或m=一专时，直线与圆相 切，即直线与圆只有一个公共点 (3)当b2时，即-4m<0时，直线与圆相离，即 3 直线与圆没有公共点. 变式训练1解：设直线AB关于y=a对称的直线为l, kw=,=号，显然点B0,)在直线1上 直线1的方程为)=2a,即c-3江+2-20 ·1与圆有公共点，.圆心(-3，-2)到直线1的距 离d≤r 即-3(a-3)+2x(-2)-24≤1，即62-11a+3≤0， 1V(a-3)+4 兮≤a≤号，实数a的取值范围为}，引 例2解：(1)x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),k= 分，切线的斜率=-2， .切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0. (2)·.P(2,3)在圆(-1)2+(y-2)2=1外， 45