2.2.4 点到直线的距离-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.2.4　点到直线的距离 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习点到直线的距离公式的推导过程培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.2.通过利用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决问题进一步提升数学运算素养． 知识点一　点到直线的距离 (1)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (2)点到特殊直线的距离 点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，到y轴的距离d＝|x0|，到平行于y轴的直线x＝b的距离d＝|x0－b|. 知识点二　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝． 1．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 2．对两条平行直线之间的距离公式的理解 (1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(　　) (2)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (3)连接两条平行直线上两点，即得该两条平行线之间的距离．(　　) (4)两条平行线之间的距离是两条平行线上两点间距离的最小值．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点P(1，2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________． (2)已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________． (3)若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． (4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________． 答案　(1)0　(2)－1　(3)±5　(4)2 题型一　点到直线的距离 例1　(1)点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为(　　) A. B．2 C．1 D．3 [解析]　由题意，点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为＝2.故选B. [答案]　B (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋1＝0或x＋3y－5＝0. [解法探究]　本例(2)还有其他解法吗？ 解　因为l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 感悟提升 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已