2.2.2 直线的方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式和斜截式． 教学重点：1.直线的方程、方程的直线的概念.2.直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 教学难点：直线的点斜式方程与斜截式方程的相互转化． 核心素养：1.通过学习直线的点斜式方程和直线的斜截式方程及直线的方程和方程的直线的概念提升数学抽象素养.2.通过应用直线的点斜式方程和斜截式方程解决问题培养数学运算素养． 知识点一　直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0. 知识点二　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为x＝x0． 知识点三　直线的斜截式方程 (1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程． (2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线的截距(即直线在y轴上的截距)． 1．关于点斜式方程的几点说明 (1)直线的点斜式方程的前提条件：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)且不垂直于x轴的无数条直线． 2．对直线斜截式方程的理解 直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．(　　) (3)直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　) (4)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过点P(－1，2)，斜率为的直线的点斜式方程为________． (2)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________． (3)斜率为2，过点A(0，3)的直线的斜截式方程为______________． 答案　(1)y－2＝(x＋1)　(2)－　2　(3)y＝2x＋3 题型一　直线的点斜式方程 例1　(1)(2023·广东月考)经过点(4，1)，斜率为3的点斜式方程为(　　) A．y－1＝3(x－4) B．y－1＝3(x＋4) C．y＋1＝3(x＋4) D．y－1＝－3(x－4) [解析]　经过点(4，1)，斜率为3的点斜式方程为y－1＝3(x－4)．故选A. [答案]　A (2)分别求满足下列条件的直线方程． ①过点(－1，2)且斜率为3； ②过点(－1，2)且与x轴平行； ③过点(－1，2)且与x轴垂直； ④已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； ⑤过点(－1，2)且直线的一个方向向量为a＝(2，－1)． [解]　①y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5. ②y＝2. ③x＝－1. ④直线的斜率k＝tan60°＝，AB的中点为(1，4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝(x－1)，即y＝x－＋4. ⑤直线的一个方向向量为a＝(2，－1)， ∴直线的斜率k＝＝－， 故直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋. 感悟提升 直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上横坐标不相等的两点的坐标，均可用点斜式方程表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，过点(x0，y0)的直线方程为x＝x0. [跟踪训练1]　(1)直线方程y－y0＝k(x－x0)(　　) A．可以表