2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率、直线的方向向量与法向量这些概念提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题提升数学运算素养． 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． (2)范围：[0，π)． 知识点二　直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 知识点三　直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k＝，即tanθ＝． 知识点四　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．一条直线的方向向量与法向量互相垂直． 1．对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． (4)当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k＝tanα. 2．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k＝tanα>0 k＝0 k＝tanα<0 不存在 倾斜角α 锐角 0° 钝角 90° 在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示： (1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大； (2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想． 3．利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意． 4．三点共线问题 (1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线． (2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线． (3)利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　　) (2)任意一条直线都有斜率．(　　) (3)直线倾斜角取值范围为[0，π]．(　　) (4)若θ为直线l的倾斜角，则向量(sinθ，－cosθ)是直线l的一个法向量．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)过下列两点的直线不存在斜率的是(　　) A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5) (2)如图1所示，直线l的倾斜角为________． (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________． (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________． (5)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________． 答案　(1)D