2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率、直线的方向向量与法向量这些概念提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题提升数学运算素养． 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． (2)范围：[0，π)． [点拨]　对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 知识点二　直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． [提醒]　(1)k的大小与A，B两点的位置无关． (2)当直线的斜率存在时，斜率是唯一的． (3)常用斜率表示直线的倾斜程度． [想一想]　直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？它们之间有什么关系？ 提示：倾斜角为直角的直线的斜率不存在，所以直线的斜率与倾斜角不是一一对应的． 直线的倾斜角α与斜率k有如下关系： 当α∈时，斜率k≥0，且斜率k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k<0，且斜率k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 知识点三　直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而直线l的斜率k＝，因此可知倾斜角满足tanθ＝． 知识点四　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．一条直线的方向向量与法向量互相垂直． 1．(直线的倾斜角)如图所示，直线l的倾斜角为________． 答案：135° 2．(直线的斜率)若直线的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________． 答案： 3．(直线的方向向量与法向量)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________． 答案：(－3，－1)(答案不唯一)　(－1，3)(答案不唯一)　 题型一　直线的倾斜角　 例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° [解析]　通过画图可知，当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，如图(1)；当135°≤α<180°时，倾斜角为α＋45°－180°＝α－135°，如图(2)．故选D. [答案]　D 【感悟提升】求直线倾斜角的注意点 (1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 【跟踪训练】 1．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案：60°或120° 解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 题型二　直线的斜率　 例2　分别满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)经过点M(a，2)，N(3，6)． [解]　(1)存在．直线AB的斜率k＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率k＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3. (4)当a＝3时，直线MN的斜率不存在； 当a≠3时，直线MN的斜率k＝. 【感悟提升】已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝. 注意：(1)公式中x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在． (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 【跟踪训练】 2．(1)已知点P1(3，5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝________． 答案：2 解析：k＝＝2. (2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案：1 解析：由＝1，得m＝1. 题型三　直线的方向向量和法向量　 例3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1) B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝ C．若直线的一个法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是互相垂直的 [解析]　由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中，当a＝0时，不成立．故选ACD. [答案]　ACD (2)已知v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． [解]　∵v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量， ∴u＝(1，－sinα)是直线l的一个方向向量， ∴k＝－sinα， 又－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1， ∴－1≤tanθ≤1， 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π， 即斜率k的取值范围为[－1，1]， 倾斜角θ的取值范围为∪. 【感悟提升】应用直线的方向向量和法向量的关注点 (1)直线的法向量与方向向量互相垂直． (2)若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则直线l的斜率k＝(u≠0)． (3)若v＝(x，y)是直线l的一个法向量，则直线l的斜率k＝－(y≠0)． (4)直线斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图象分析． 【跟踪训练】 3．已知直线l通过点A(－1，2)与B(m，3)． (1)若a＝(－2，2)是直线l的一个方向向量，求m的值； (2)当m∈时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围． 解：(1)∵A(－1，2)，B(m，3)， ∴＝(m＋1，1)， 又∥a， ∴(m＋1)×2＝1×(－2)，解得m＝－2. (2)∵m∈，∴m＋1≠0， ∴直线l的斜率为＝， 又－≤m＋1<0，∴≤－， 即tanθ≤－，又0≤θ＜π，∴<θ≤， 即直线AB的倾斜角θ的取值范围为. 题型四　三点共线问题　 例4　已知点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一直线上，求a的值． [解]　解法一：∵5≠－4， ∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB＝＝， kBC＝＝. ∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB＝kBC. ∴＝，解得a＝2或a＝. 解法二：∵＝(5－a，－1)，＝(－4－a，2a－2)，点A，B，C在同一直线上， ∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)， 即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝. 【感悟提升】解决三点共线问题的策略 (1)A，B，C三点共线⇔A，B，C中任意两点确定的直线的斜率都相等(如kAB＝kAC)或都不存在． (2)利用向量和向量是否共线判断A，B，C三点是否共线． 【跟踪训练】 4．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 解：由题意可知，kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝， 所以k＝2＝＝， 解得a＝4，b＝－3. 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. 1．(多选)在下列四个命题中，正确的是(　　) A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0 B．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 答案：AC 解析：对于A，当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tanα>0，A正确；对于B，若一条直线的斜率为tan(－30°)＝－，则此直线的倾斜角为150°，B错误；对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，C正确；对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误．故选AC. 2．已知直线l经过A(1，3)，B(－2，4)两点，则直线l的斜率是(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案：B 解析：由题意可得直线l的斜率k＝＝－. 3．若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案：D 解析：因为3≠1，所以直线AB的斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即＝，解得m＝3.故选D. 4．若直线l的一个方向向量为a＝，则直线l的倾斜角θ＝________． 答案： 解析：由tanθ＝k＝＝tan，且0≤θ＜π，得θ＝. 5．若直线m的斜率k∈(－∞，－1)∪(1，]，则直线m的倾斜角的取值范围是________． 答案：∪ 解析：设直线m的倾斜角为α，则α∈[0，π)，斜率k＝tanα.由题意，直线m的斜率k＝tanα∈(－∞，－1)∪(1，]，则当tanα＜－1时，<α<；当1<tanα≤时，＜α≤.综上可知，直线m的倾斜角的取值范围是∪. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 求直线的法向量 已知两点及直线的倾斜角求参数 比较斜率的大小 判断三点是否共线 求直线的斜率；求直线的倾斜角；求直线的方向向量 已知斜率相等求参数 已知直线的法向量求直线的倾斜角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 考点 已知三点共线求参数；已知直线的方向向量求参数 已知直线的斜率或方向向量求直线的倾斜角 求直线的斜率、倾斜角的取值范围 求直线的斜率 构造斜率公式求代数式的取值范围 已知直线的倾斜角之比求直线的斜率 求直线的斜率和倾斜角 一、选择题 1．已知直线l经过点A(1，2)与B(0，2)，则下列向量可作为直线l的一个法向量的是(　　) A．(－1，0) B．(0，－1) C．(1，0) D．(2，1) 答案：B 解析：由＝(－1，0)，结合法向量的定义可知B正确． 2．已知两点A(2，t)，B(1，0)，t∈R，直线AB的倾斜角为120°，则实数t＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：由题意，知＝tan120°＝－，解得t＝－. 3．如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(　　) A．k4<k3<k2<k1 B．k1<k2<k3<k4 C．k3<k4<k1<k2 D．k2<k1<k3<k4 答案：C 解析：直线l3，l4的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l1，l2的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角，所以k3<k4<0，k2>k1>0，所以k3<k4<k1<k2.故选C. 4．(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　) A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) B．(3，0)，(6，4)，(－3，－8) C．(4，5)，(3，4)，(－2，－1) D．(1，3)，(2，5)，(－2，3) 答案：BC 解析：对于A，＝－，＝－1≠－，故三点不共线；对于B，＝＝，故三点共线；对于C，＝＝1，故三点共线；对于D，＝2，＝≠2，故三点不共线．故选BC. 5．(多选)已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，则下列说法正确的是(　　) A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若a＝(1，1)，则a是直线AC的一个方向向量 D．△ABC中，边AB上的中线的斜率为－5 答案：BCD 解析：对于A，直线AB的斜率为kAB＝＝，故A错误；对于B，直线BC的斜率为kBC＝＝－<0，所以直线BC的倾斜角为钝角，故B正确；对于C，直线AC的斜率为kAC＝＝1，所以直线AC的一个方向向量为(1，kAC)，即(1，1)，故C正确；对于D，设边AB的中点为D(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝＝，即D，则kCD＝＝－5，故D正确．故选BCD. 二、填空题 6．已知直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若这两条直线的斜率相等，则a的值为________． 答案：－2 解析：由直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，得直线l1的斜率kAB＝＝2，又直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，得直线l2的斜率kCD＝＝－a，因为这两条直线的斜率相等，所以－a＝2，解得a＝－2. 7．直线l的一个法向量为u＝(，1)，则直线l的倾斜角为________． 答案： 解析：因为直线l的一个法向量为u＝(，1)，所以直线l的一个方向向量为(－1，)．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝＝－，又0≤α<π，所以α＝. 8．直线l过A(2，a)，B(3，1)，C(b，－2)三点，则＋＝________；若直线l的一个方向向量为m＝(2，－3)，则a＋b＝________． 答案：1　 解析：＝(1，1－a)，＝(b－3，－3)，∵A，B，C三点共线，∴∥，∴－3－(1－a)(b－3)＝0，即(a－1)(b－3)－3＝0，∴ab－3a－b＝0，∴3a＋b＝ab，同除以ab得＋＝1.若m＝(2，－3)为直线l的一个方向向量，则m∥，m∥，∴解得∴a＋b＝. 三、解答题 9．根据下列条件，求直线l的倾斜角． (1)斜率为－； (2)经过A(－2，0)，B(－5，3)两点； (3)一个方向向量为＝. 解：(1)设直线l的倾斜角为α， ∵直线l的斜率为－，∴tanα＝－， 又0≤α＜π，∴α＝. (2)由已知得直线l的斜率k＝＝－1， 设直线l的倾斜角为α，则tanα＝－1， ∵0≤α＜π，∴α＝. (3)由直线l的一个方向向量为＝，可得斜率k＝＝， 设直线l的倾斜角为α，则tanα＝， ∵0≤α＜π，∴α＝. 10．已知A(－3，4)，B(3，2)两点，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：(1)如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1， ∵l与线段AB相交， ∴k≥kPB或k≤kPA， 则k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由(1)知tanα≤－1或tanα≥1， 又0°≤α<180°， ∴90°<α≤135°或45°≤α<90°， 又α＝90°时，直线l垂直于x轴，与线段AB有公共点，也满足要求，∴45°≤α≤135°. 11．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|，|BiBi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m，最短拉索P1A1满足|OP1|＝60 m，|OA1|＝96 m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意，得|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝96＋9×16＝240 m，|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝60＋9×4＝96 m，故B10(－240，0)，P10(0，96)，则kP10B10＝＝.故选D. 12．已知点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，若x1∈[0，1)，则的取值范围为________． 答案：(－∞，－2] 解析：表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)所连直线的斜率k，由点M(x1，y1)是函数y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图所示，可得C(0，1)，B(1，e)，则kAC＝－2，所以k≤－2，即的取值范围为(－∞，－2]． 13．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为，求l1，l3，l4的斜率． 解：设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α. 由0≤4α<π，得0≤α<. 由已知，得tan2α＝＝， 解得tanα＝(tanα＝－3舍去)，则 tan3α＝tan(α＋2α)＝＝， tan4α＝＝， 即直线l1，l3，l4的斜率分别为，，. 14．已知坐标平面内三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1)． (1)求直线AB的斜率和倾斜角； (2)若A，B，C，D可以构成平行四边形且点D在第一象限，求点D的坐标． 解：(1)由题意可知直线AB的斜率为＝1，直线的倾斜角的范围为[0，π)，所以直线AB的倾斜角为. (2)因为点D在第一象限， 所以＝， 设D(x，y)，则(x＋1，y－1)＝(4，4)， 即解得 故点D的坐标为(3，5)． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$