2.7.2 抛物线的几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

2.7.2　抛物线的几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解抛物线的简单应用． 教学重点：抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线的几何性质的应用． 核心素养：1.通过利用抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用抛物线的几何性质解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点　　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－py(p>0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题． 2．椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别 (1)联系：三种曲线都有范围、对称轴、顶点和离心率四个基本的几何性质．(2)区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛物线的离心率等于1且只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，没有中心．就标准方程而言，椭圆、双曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数． 另外需注意，抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)抛物线有对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．(　　) (4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)抛物线y＝x2的准线方程为________． (2)顶点在原点，对称轴为x轴，且顶点到焦点的距离为3的抛物线的标准方程为________． (3)已知点P在抛物线y2＝－5x上，且点A(－3，0)，则|PA|的最小值为________． 答案　(1)y＝－2　(2)y2＝12x或y2＝－12x (3) 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4. 感悟提升 求抛物线的标准方程的四个步骤 (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)； (2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． [跟踪训练1]　抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程． 解　∵抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， ∴设该点为P，则点P的坐标为(x0，±6)． ∵P到抛物线的焦点F的距离为10， ∴由抛物线的定义，得x0＋＝10.① ∵P是抛物线上的点， ∴2px0＝36.② ①②联立，解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1. ∴抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x. 题型二　抛物线的简单几何性质 例2　(2023·江苏扬州高二期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线D：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，直线l交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，△MNF的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求抛物线D的方程． [解]　(1)设半焦距为c， 由题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为， 可得e＝＝＝，解得＝3， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±3x. (2)不妨设M在x轴下方，N在x轴上方， 由抛物线D：y2＝2px(p>0)， 可得其准线方程为x＝－， 代入渐近线方程得M，N， 所以|MN|＝3p， 则S△MNF＝×3p×p＝3，解得p＝， 所以抛物线D的方程为y2＝2x. 感悟提升 求抛物线的标准方程