1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中线面垂直的判定定理． 教学重点：1.利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系.2.求空间两直线所成的角． 教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系． 核心素养：1.通过对空间点的位置向量与直线方向向量的学习培养数学抽象素养.2.通过运用向量方法研究空间中两直线的平行与垂直关系以及两异面直线所成的角培养数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　空间中点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的方向向量 (1)一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (2)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (3)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (4)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定． (5)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 知识点三　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则 ①θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ②sinθ＝sin〈v1，v2〉，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|． ③l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． 知识点四　异面直线与空间向量 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． ①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的． ②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交． ③“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． ④如下图，A∈l1，B∈l2，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (2)一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 1．直线的方向向量 (1)在直线上给定一个定点A和它的一个方向向量v，对于直线上的任意一点B，有＝λv，这样可以求直线上任一满足要求的点的坐标． (2)空间中P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ(λ＋μ＝1)． 2．空间中两条直线所成的角 设空间中两条直线所成的角为θ，当两直线垂直时θ＝，当两直线平行时θ＝0，既不平行也不垂直的两条直线所成的角θ∈，所以空间中两条直线所成角的范围为. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　　) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) (4)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1，2，－2)，v2＝(－3，－6，6)，则直线l1与l2的位置关系为________． (2)两向量v1＝(2，0，3)，v2＝(－3，0，2)，则以向量v1，v2为方向向量的直线l1，l2的夹角为________． (3)已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________． 答案　(1)平行或重合　(2)　(3)－14　6 题型一　空间中点的位置的确定 例1　已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则点C的坐标为(　　) A. B. C. D. [解析]　设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，∵＝(－2，－6，－2)，＝，∴(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，即解得∴C.故选C. [答案]　C 感悟提升 解决此类问题的关键是把已知的长度关系转化为向量关系，从而得到要求的点的坐标． [跟踪训练1]　如图，已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，P，Q分别在线段AB和线段A