1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量线性运算的坐标表示.3.掌握空间向量的数量积的坐标表示． 教学重点：1.空间向量坐标的定义.2.空间向量运算的坐标表示． 教学难点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角问题． 核心素养：1.通过学习空间向量坐标的定义培养数学抽象素养.2.通过利用空间向量的坐标运算解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　空间中向量的坐标 (1)单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． (2)向量的单位正交分解 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解． (3)向量的坐标 如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点二　空间向量的运算与坐标的关系 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2； (2)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (3)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v是实数)； (4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (5)|a|＝＝； (6)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝. 知识点三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝； (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)．(　　) (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.(　　) (4)设a＝(1，2，－1)，b＝(0，m，2)，若a⊥b，则m＝1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，－3，0)，c＝(7，－2，1)，则a＋b＋c＝________． (2)已知向量a＝(－3，2，2)，b＝(1，2，－1)，则a·b＝________． (3)已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角等于________． 答案　(1)(5，－3，6)　(2)－1　(3)60° 题型一　空间向量的坐标表示 例1　(1)已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(1，－1，1) [解析]　根据空间向量坐标的定义，知＝(－1，1，－1)．故选A. [答案]　A (2)(2023·湖北广水市第二高级中学高二期中)设{i，j，k}是空间中的一个单位正交基底，已知向量p＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) [解析]　∵p＝8a＋6b＋4c，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，∴p＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．故选A. [答案]　A 感悟提升 若i，j，k为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，有序实数组(x，y，z)使得p＝xi＋yj＋zk，我们把x，y，z称为向量p在单位正交基底{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)． [跟踪训练1]　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{，，}为单位正交基底，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为M是AD1的中点，N是B1D1的中点，所以＝＝＝(＋)＝0·＋＋，所以在{，，}下的坐标为.故选C. 题型二　空间向量的坐标运算 例2　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)． 2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0，1，－4) ＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)