1.1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.1.2　空间向量基本定理 (教师独具内容) 课程标准：了解空间向量基本定理及其意义． 教学重点：1.应用共线向量基本定理与共面向量定理解决共线问题与共面问题.2.空间向量基本定理的应用． 教学难点：1.证明四点共面问题.2.应用空间向量基本定理解决问题． 核心素养：通过对共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理的学习提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 知识点二　共面向量定理 (1)如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． 知识点三　空间向量基本定理 (1)如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0．表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． (2)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．因此，空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 1．共线向量基本定理的推论 如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式＝＋ta.① 如图所示． 若在l上取＝a，则①式可以化为＝＋t＝(1－t)＋t.② 可得如下结论：对于空间任意点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线． 这一结论可作为证明三点共线的常用方法． 2．对共面向量定理的理解 共面向量定理给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此将已知共面条件转化为向量式，以方便向量运算．另外，若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．这一结论可作为判定空间中四个点共面的常用方法． 3．对空间向量基本定理的理解 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以组成空间向量的一组基底，所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底． 注意：基底与基向量的区别，一组基底是由三个不共面的基向量组成的． (2)建立基底的作用 将空间不同向量用同一组基向量表示，便于判断向量与向量之间的关系(如共线、共面等)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　) (2)若向量e1，e2不共线，则对于空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．(　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________． (2)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________． (3)如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________． 答案　(1)－8　(2)　(3)－－＋ 题型一　共线向量 例1　如图，已知M，N分别为四面体A－BCD中△BCD与△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． [证明]　取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为四面体A－BCD中△BCD与△ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设＝a，＝b，＝c， 因为M为△BCD的重心， 所以＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． 因为GM∶GA＝1∶3，所以＝， 所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， 因为N为△ACD的重心， 所以＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝，所以∥. 又BN∩BG＝B， 所以B，G，N三点共线． 感悟提升 1．判断向量共线