1.1.1 空间向量及其运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

　　　　　 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 教学重点：1.空间向量的概念.2.空间向量的加减、数乘运算． 教学难点：空间几何体中向量的线性运算． 核心素养：1.通过对空间向量概念的学习提升数学抽象素养.2.通过对空间向量线性运算的学习培养直观想象素养和数学运算素养.3.通过运用空间向量的线性运算解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　空间向量的概念 知识点二　空间向量的加法运算 (1)运算法则 ①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则是向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝．当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立． ②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则＝＋. (2)运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a． 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如，＋＋＝． 结论：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 知识点三　空间向量的减法运算 (1)给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量． (2)三角形法则：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝．当a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形． (3)转化为加法运算：a－b＝a＋(－b)． 知识点四　空间向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量． 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反． 当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (2)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a. (3)三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝时，B为线段AC的中点． (4)运算律：λa＋μa＝(λ＋μ)a(λ，μ∈R)， λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． 对空间向量的理解 (1)空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决． (2)空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的方向是确定的．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(　　) (4)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与是________向量，向量与是________向量． (2)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________；－＋＝________． (3)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________． 答案　(1)相等　相反　(2)　 (3)－a＋b－c 题型一　空间向量的概念 例1　给出下列命题： ①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　①是真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相