第一章 空间向量与立体几何 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间中，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)，始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的，两个向量相等的充要条件是大小相等、方向相同． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. (2)空间向量共面的充要条件：a，b，c共面⇔c＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc. (4)空间向量的数量积及夹角公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝(a≠0且b≠0)． 二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 在空间任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，记作Oxyz.在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 2．空间向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔＝＝(b1，b2，b3≠0)． 3．有关公式 (1)模：|a|＝＝. (2)夹角：cos〈a，b〉＝ ＝(a≠0且b≠0)． 三、运用向量方法研究平行与垂直 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量且两条直线无公共点． 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． 证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 证明线面垂直只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明面面平行只需证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)． 证明面面垂直可转化为证明两个平面的法向量互相垂直． 四、用向量方法求空间角和距离 1．求两异面直线所成的角 利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是，故实质上应有cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2．求线面角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|. 3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个半平面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 4．空间中两点之间的距离 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝. 5．点到直线的距离 点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于||. 6．点到平面的距离的求法 点P到它在一个平面α内射影的距离，称为点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离d＝. 学科思想培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重