第一章 空间向量与立体几何（3考点+4易错+易错训练）（知识清单）数学人教B版高二选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统整合“空间向量与立体几何”核心内容，涵盖空间向量基础、坐标运算、几何体公式、平行垂直判定、空间角与距离五大知识范畴，搭建从概念理解到定理应用再到综合计算的递进式学习支架。 清单通过“基础概念-定理公式-二级结论-易错警示”四级体系呈现知识，如将“空间向量基本定理”与“共线共面向量判定”关联，培养数学思维。设“高频易错警示”专栏标注空间角范围区分等8类易错点，配“对点训练”例题，设计“必背二级结论”模块如长方体外接球公式，助力学生精准突破难点，教师可直接用于复习课设计，提升教学效率。

第1章 空间向量与立体几何 【答案】方向； 大小； 平行于； ； ； 同向； 反向； ； ； ； 不共面； 不共面； 两两垂直； 两两垂直； ； ； ； ； ，，； 【答案】非零； 1； 方向； 唯一； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 点 1. 空间向量基础概念与线性运算 1)基础概念 空间向量：空间中具有大小和方向的量；为零向量，模长为 0；为单位向量； 相等向量：模相等、方向完全相同；相反向量：模相等、方向相反。 2)线性运算 加法：三角形法则、平行四边形法则；减法：； 数乘：同向伸缩，反向伸缩，。 3)空间向量基本定理 若不共面，则任意空间向量，存在唯一满足；称为一组基底；两两垂直基底可直接建立空间直角坐标系。 4)共线、共面向量 ①，； ②三向量共面存在实数，； ③三点共线：。 2. 空间向量坐标运算 设 1)加减： 2)数乘： 3)模长：；空间两点距离 4)数量积： 5)垂直判定： 6)共线判定： 3. 几何体表面积、体积公式 1)柱体（棱柱、圆柱）：； 2)锥体（棱锥、圆锥）：； 3)台体（棱台、圆台）：； 4)球体：表面积，体积； 5)球截面：球心距、截面小圆半径、球半径满足。 4. 空间平行、垂直完整判定与性质 （1）平行体系 1)线线平行：中位线、平行四边形、向量共线； 2)线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行线面平行； 3)面面平行：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面面面平行； 性质：面面平行，任意直线平行另一平面；两平行平面截直线所得线段相等。 （2）垂直体系 1)线面垂直：直线垂直平面内两条相交直线线面垂直； 2)面面垂直判定：一个平面过另一平面一条垂线面面垂直； 3)面面垂直核心性质：两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 逻辑链条：线线平行 / 垂直 线面平行 / 垂直 面面平行 / 垂直。 5. 空间三类角与距离向量公式 设平面法向量，直线方向向量 1)异面直线夹角： 2)线面角： 3)二面角：，正负由二面角是锐角 / 钝角判断 4)点到平面距离（为平面内任意点）： （二）必背二级结论 1. 长方体外接球：长宽高，外接球直径 = 体对角线，； 2. 棱长为正四面体：外接球，内切球；； 3. 直棱柱外接球：上下底面外心连线中点为球心； 4. 等体积法：，可反求几何体的高、点到面距离； 5. 线面平行向量判定：直线方向向量与平面法向量垂直； 6. 面面垂直向量判定：两平面法向量数量积为 0； 7. 异面直线距离、平行线面距离统一套用点到平面距离公式。 （三）高频易错警示 1. 空间角范围区分：异面直线、线面角只取；二面角范围，余弦值分正负，看图判断符号； 2. 面面垂直性质定理硬性前提：直线必须在平面内，且垂直两平面交线，缺少条件不能直接用； 3. 建立空间直角坐标系前，必须严格证明三条直线两两垂直，不可直接凭空设坐标轴； 4. 向量共线≠直线平行：向量共线包含直线重合，立体几何直线平行需排除重合； 5. 异面直线夹角公式必须加绝对值，不能直接使用向量原始夹角； 6. 求棱锥体积时，高是顶点向底面作垂线段，侧棱不垂直底面时不能直接当作高； 7. 平面法向量不唯一，计算二面角时注意区分锐二面角、钝二面角； 8. 共面向量仅代表向量平移后共面，对应直线可能异面。 易错点1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 易错提醒 夹角为锐角 夹角为钝角 【对点训练】1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【解答过程】（1）解：(1)因为, 所以. ， . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 易错点2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 易错提醒 向量所成角的范围0≤φ≤π，异面直线所成角0≤θ≤ 【对点训练】2．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   易错点3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 易错提醒 用向量法求平面与平面所成的角时，牢记它们所成的角θ的范围为0≤θ≤，当两平面法向量的夹角φ满足0≤φ≤时，θ＝φ，满足＜φ≤π时，θ＝π－φ. 【对点训练】3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 2．（25-26高二下·广东河源·期末）如图，在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先连接 ，根据 得到 或其补角为异面直线 与 所成角，再解三角形即可. 【详解】连接 ，如图所示：因为 ， 所以 或其补角为异面直线 与 所成角， 又因为 为等边三角形，所以 . 所以直线与所成角的大小为. 3．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 5．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合线面垂直的性质、面面垂直的判定与性质，依据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】首先证明充分性： 已知，，若，由线面垂直的性质可得或， 若，因，即平面经过平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理，可得； 若，则平面内存在直线满足，结合得，即平面经过平面的垂线， 根据面面垂直的判定定理，可得，故充分性成立； 再证明必要性： 已知，，若，由面面垂直的性质结合，可得或， 若，因，根据线面垂直的性质可得， 若，则平面内存在直线满足，结合得，故，故必要性成立， 综上，“”是“”的充要条件，故C正确. 6．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过作垂足为，取中点， 过作交于点，在上取点，连接， 由题意可知平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 同理平面， 在中，为的外接圆圆心， 所以设四面体的外接球的球心为， 因为，，所以，，， 所以，，， 所以， 因为，即， 所以，解得， 所以四面体的外接球的半径， 所以四面体的外接球的体积. 7．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 8．（25-26高二下·甘肃武威·期末）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上下底边长计算上下底外接圆的半径，通过侧棱长、上下底面外接圆半径的差计算棱台的高，联立方程求解外接球半径，根据计算结果. 【详解】设正四棱台的上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，，；过作下底面，垂足为，如图所示.    则，，. ，，. ，则. （1）当外接球的球心在棱台内部时，如图：    设，则. ，即，解得. ，即外接球的半径. 外接球的表面积. （2）当外接球的球心在棱台外部时，如图：    设，则. ，即，解得，不符合题意. 综上所述，正四棱台的外接球的表面积为. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 10．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知空间向量，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】A 选项，根据平行得到比例关系，进而求出 ；B选项，根据垂直得到向量数量积为0，进而可求出； 选项，利用模长公式可求出 ；选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值． 【详解】，则，可得对； B：，则，可得对； C：，所以，可得或，C错； D：，则，故，则对. 故选：ABD 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D．当该八面体表面积为时，二面角的大小为 【答案】ACD 【分析】对于A，先借助平行四边形、菱形得证 “线线平行”，再证明线面平行； 对于B，利用反证法判断线面垂直不成立； 对于C，将空间面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解； 对于D，先由表面积求出侧面三角形的高，再构造二面角的平面角，用余弦定理求值. 【详解】对于A：如图，连接交于点O，则点O为正方形的中心，平面， 由可知，，所以四边形为平行四边形， 又，故四边形为菱形，由，平面，平面，得平面，故A正确； 若平面，则，与矛盾， 故B错误； ，所以与为等边三角形， 展开至同一平面，连接交于，则为中点，故路程最短为， 其他路径同理可得路程最短为，故C正确. 对于D：该八面体八个面都是全等的等腰三角形，则， 取中点，则，，则二面角的平面角为， 因为，所以，所以，， 由得，所以， 故，，即，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，， 所以. 13．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 【答案】 【分析】根据中点以及直三棱柱的特点将三棱锥的体积等价转换为容易计算的三棱锥的体积，从而可得两几何体的体积之比. 【详解】因为是的中点，所以， 又因为平面，所以， 又因为平面，所以， 所以，所以体积比为. 14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点A，B满足，O是球心，且点A到平面的距离为3，则点B到平面距离的最大值为________． 【答案】/ 【分析】过作与平面平行的截面，将求点B到平面距离的最大值转化为求点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可. 【详解】如图，过作与平面平行的截面，截面直径为，截面，在球面上. 取的中点，过作的平行线，交球与于， 则以点为圆心，为直径的圆到平面的距离为. 所以点在该圆上，当重合时， 在平面中，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径且垂直于的大圆上运动， 当与重合时，到平面距离最大. 设，则， 所以到截面的距离的最大值为. 所以点B到平面距离的最大值为. 四、解答题 15．（3空间点、直线、平面之间的位置关系课堂例题）如图，已知正方体的棱长为a.    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? (2)求异面直线与夹角的大小； (3)求异面直线与夹角的大小. 【答案】(1) ，，， (2) (3) 【详解】（1）正方体共有12条棱，与平行的棱有，与相交的棱有， 因此余下的4条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是. （2）因为，所以与的夹角就是与的夹角， 因为，所以与的夹角为. （3）连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，故， 从而与的夹角就是与的夹角，连接， 因为，所以是正三角形， 所以与的夹角为，即与的夹角为.    16．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 17．（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图． ，，，，， ，，，，，． ，，， ，，即； ，，即． 又，，平面，平面． (2) (3)2 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证； （2）由面面角的向量求法可得； （3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则 ，， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为． （3）在棱上取点，使，连接． ，．，． 又平面，平面，平面． ∴点到平面的距离与点到平面的距离相等， ． ，，. ，， ， 即三棱锥的体积为2． 18．（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 【答案】(1)设底面圆心为，则为中点，连接，，所以平面， 在底面中，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2). 【分析】（1）利用底面等腰三角形的中线性质得到 ，结合圆锥的轴 底面得到 ，从而由线面垂直判定定理完成证明； （2）取 中点 ，由等腰三角形中线性质得 ，利用底面中位线关系得 ，从而 即为所求二面角的平面角；再在直角三角形中通过边长比计算正切值即可确定角的大小． 【详解】（1）略． （2）由直径，得底面半径，且, 又，所以， 圆锥侧面积，得母线长：， 所以， 取的中点，连接，所以，， 因为为底面直径，所以，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 因为,所以， 所以，即二面角的大小为. 19．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，，，，分别是的中点，将平行四边形沿折至的位置，连接，得到斜三棱柱． (1)若为中点，证明：直线平面； (2)当时， ①求二面角的大小； ②在三棱柱中有内切球与各个侧面和底面都相切，球与侧面，侧面以及上底面都相切，且与球外切，求球的表面积． 【答案】(1)取中点， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面， 因为且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面，因为平面，所以平面． (2)①；② 【分析】（1）利用面面平行的判定和性质即可证明； （2）①方法一：找到二面角的平面角，再求解即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，利用面面角的空间向量求法即可得到答案；②写出的表达式，再作差即可. 【详解】（1）略 （2）①法一：连，取中点， 因为，所以，又因为分别是的中点， 则，则，则为中点， 因为且，所以为二面角的平面角， 因为，则， 则为等边三角形，所以，所以． 法二：因为， 即 即， 所以，又因为， 取中点，则，， 则，，， 以为轴正方向，以为轴正方向，轴满足右手系，建立空间直角坐标系． 故． 设点满足，则，解得， 则．则， 因为，所以易得， 则， 设平面的法向量，则，即 可取， ， 设平面的法向量，则，即， 可取， ， 则平面的法向量，平面的法向量， 所以，由图知是锐二面角，所以二面角为． ②因为且，所以截面内，球截得的圆为的内切圆， 因为的边长为，所以它的内切圆半径为 ，因为， 因为，则，则， 则， 又因为为中点，所以， 所以． 因为，所以点在平面中，所以， 因为，，， 所以，，所以． 在中，； ； …… ； ； 作差得， 因为，所以． 【答案】（1）46；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法． （1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数； （2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可． 【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1； 第2层最后一个数是； 第3层最后一个数是； 第4层最后一个数是； ∴第9层最后一个数是； ∴第10层最左边的数是； （2）12层共有（个）数， 其中23个负数，1个0，54个正数， 按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 空间向量与立体几何 1. 空间向量基础概念与线性运算 1)基础概念 空间向量：空间中具有大小和方向的量；为零向量，模长为 0；为单位向量； 相等向量：模相等、方向完全相同；相反向量：模相等、方向相反。 2)线性运算 加法：三角形法则、平行四边形法则；减法：； 数乘：同向伸缩，反向伸缩，。 3)空间向量基本定理 若不共面，则任意空间向量，存在唯一满足；称为一组基底；两两垂直基底可直接建立空间直角坐标系。 4)共线、共面向量 ①，； ②三向量共面存在实数，； ③三点共线：。 2. 空间向量坐标运算 设 1)加减： 2)数乘： 3)模长：；空间两点距离 4)数量积： 5)垂直判定： 6)共线判定： 3. 几何体表面积、体积公式 1)柱体（棱柱、圆柱）：； 2)锥体（棱锥、圆锥）：； 3)台体（棱台、圆台）：； 4)球体：表面积，体积； 5)球截面：球心距、截面小圆半径、球半径满足。 4. 空间平行、垂直完整判定与性质 （1）平行体系 1)线线平行：中位线、平行四边形、向量共线； 2)线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行线面平行； 3)面面平行：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面面面平行； 性质：面面平行，任意直线平行另一平面；两平行平面截直线所得线段相等。 （2）垂直体系 1)线面垂直：直线垂直平面内两条相交直线线面垂直； 2)面面垂直判定：一个平面过另一平面一条垂线面面垂直； 3)面面垂直核心性质：两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 逻辑链条：线线平行 / 垂直 线面平行 / 垂直 面面平行 / 垂直。 5. 空间三类角与距离向量公式 设平面法向量，直线方向向量 1)异面直线夹角： 2)线面角： 3)二面角：，正负由二面角是锐角 / 钝角判断 4)点到平面距离（为平面内任意点）： （二）必背二级结论 1. 长方体外接球：长宽高，外接球直径 = 体对角线，； 2. 棱长为正四面体：外接球，内切球；； 3. 直棱柱外接球：上下底面外心连线中点为球心； 4. 等体积法：，可反求几何体的高、点到面距离； 5. 线面平行向量判定：直线方向向量与平面法向量垂直； 6. 面面垂直向量判定：两平面法向量数量积为 0； 7. 异面直线距离、平行线面距离统一套用点到平面距离公式。 （三）高频易错警示 1. 空间角范围区分：异面直线、线面角只取；二面角范围，余弦值分正负，看图判断符号； 2. 面面垂直性质定理硬性前提：直线必须在平面内，且垂直两平面交线，缺少条件不能直接用； 3. 建立空间直角坐标系前，必须严格证明三条直线两两垂直，不可直接凭空设坐标轴； 4. 向量共线≠直线平行：向量共线包含直线重合，立体几何直线平行需排除重合； 5. 异面直线夹角公式必须加绝对值，不能直接使用向量原始夹角； 6. 求棱锥体积时，高是顶点向底面作垂线段，侧棱不垂直底面时不能直接当作高； 7. 平面法向量不唯一，计算二面角时注意区分锐二面角、钝二面角； 8. 共面向量仅代表向量平移后共面，对应直线可能异面。 易错点1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 易错提醒 夹角为锐角 夹角为钝角 【对点训练】1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 易错点2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 易错提醒 向量所成角的范围0≤φ≤π，异面直线所成角0≤θ≤ 【对点训练】2．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 易错提醒 用向量法求平面与平面所成的角时，牢记它们所成的角θ的范围为0≤θ≤，当两平面法向量的夹角φ满足0≤φ≤时，θ＝φ，满足＜φ≤π时，θ＝π－φ. 【对点训练】3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 2．（25-26高二下·广东河源·期末）如图，在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 5．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃武威·期末）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知空间向量，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D．当该八面体表面积为时，二面角的大小为 三、填空题 12．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 13．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 14．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点A，B满足，O是球心，且点A到平面的距离为3，则点B到平面距离的最大值为________． 四、解答题 15．（3空间点、直线、平面之间的位置关系课堂例题）如图，已知正方体的棱长为a.    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线? (2)求异面直线与夹角的大小； (3)求异面直线与夹角的大小. 16．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 19．（25-26高二下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形中，，，，分别是的中点，将平行四边形沿折至的位置，连接，得到斜三棱柱． (1)若为中点，证明：直线平面； (2)当时， ①求二面角的大小； ②在三棱柱中有内切球与各个侧面和底面都相切，球与侧面，侧面以及上底面都相切，且与球外切，求球的表面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $