1.2 1.2.5 空间中的距离-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

1.2.5　空间中的距离 (教师独具内容) 课程标准：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：几种距离的求法． 教学难点：用向量方法求空间距离． 核心素养：通过对空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及相互平行的平面与平面之间的距离的学习培养数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 知识点二　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 知识点三　点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． 知识点四　相互平行的直线与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (2)如图，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点五　相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (2)一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． (3)如图，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝. 1．几种距离的关系 2．点到平面距离的求法 如图，BO⊥α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度． 若AB是平面α的一条斜线段，则在Rt△BOA中，||＝||cos∠ABO ＝.如果令平面α的一个法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为||＝. 由于＝n0为平面的一个单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段的方向向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点到直线的距离就是点到直线的垂线的方向向量的模．(　　) (2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离．(　　) (3)当两个平面平行时，才有平面到平面的距离．(　　) (4)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B．2 C. D. (2)已知＝(2，1，1)，＝(1，3，1)，则点A，B之间的距离为________． (3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________． (4)设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 答案　(1)A　(2)　(3)　(4) 题型一　两点间的距离 例1　如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上．若CM＝BN＝，求MN的长． [解]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)， ∵CM＝BN＝，且四边形ABCD，ABEF为正方形， ∴M，N， ∴＝， ∴||＝＝，即MN＝. 解法二：以，，为基向量， ∵CM＝BN＝， ∴＝，＝. ∴＝＋＝－＋＋ ＝－＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋， ∴||2＝2＋2＝， ∴||＝，即MN＝. 感悟提升 求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求)，利用向量模的定义求解． [跟踪训练1]　如图所示，在120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 解　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0， 又二面角α－AB－β的平面角为120°， ∴〈，〉＝60°， ∴CD2＝|