43期 第二章综合(一) 导数及其应用-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 导数的应用是高中数学的重要内容．以“新定 义”“知识交汇”和“开放探索”等为出发点的导数创新 问题常成为考试命题的“亮点”之作．下面撷取几例，和 同学们一起体验一下． 一、新定义创新问题 例１给出定义：若函数ｆ（ｘ）在Ｄ上可导，即ｆ′（ｘ） 存在，且函数ｆ′（ｘ）在Ｄ上也可导，则称ｆ（ｘ）在Ｄ上存 在二阶导函数，记ｆ″（ｘ）＝（ｆ′（ｘ））′，若ｆ″（ｘ）＜０在Ｄ 上恒成立，则称ｆ（ｘ）在Ｄ上为凸函数．以下四个函数在 ０，π( )２ 上不是凸函数的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ　　（Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－２ｘ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝－ｘ３＋２ｘ－１ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｅｘ 解：对于（Ａ）选项，ｆ″（ｘ）＝（ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）′＝ －ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＜０在 ０，π( )２ 上恒成立；对于（Ｂ）选项， ｆ″（ｘ）＝ １ ｘ－( )２′＝－ １ ｘ２ ＜０在 ０，π( )２ 上恒成立；对 于（Ｃ）选项，ｆ″（ｘ）＝（－３ｘ２ ＋２）′＝－６ｘ＜０在 ０，π( )２ 上恒成立；而对于（Ｄ）选项，ｆ″（ｘ）＝（ｅｘ）′＝ｅｘ ＞０在 ０，π( )２ 上恒成立．故选（Ｄ）． 二、知识交汇创新问题 例２已知向量ａ＝（ｘ２，ｘ＋１），ｂ＝（１－ｘ，ｔ），若函 数 ｆ（ｘ）＝ａ·ｂ在区间（－１，１）上是增函数，求ｔ的取值 范围． 解：因为ｆ（ｘ）＝ａ·ｂ＝ｘ２（１－ｘ）＋ｔ（ｘ＋１）＝－ｘ３ ＋ｘ２＋ｔｘ＋ｔ，所以ｆ′（ｘ）＝－３ｘ２＋２ｘ＋ｔ． 若ｆ（ｘ）在区间（－１，１）上是增函数，则ｘ∈（－１，１） 时，ｆ′（ｘ）≥０，即 －３ｘ２＋２ｘ＋ｔ≥０，所以ｔ≥３ｘ２－２ｘ 在区间（－１，１）上恒成立． 又因为ｇ（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ表示对称轴为ｘ＝１３且开 口向上的抛物线，所以当ｘ∈ （－１，１）时，ｇ（ｘ）的取值 范围是 －１３，[ )５，故所求ｔ的取值范围是［５，＋∞）． 三、开放探索创新问题 例３定义函数ｆｎ（ｘ）＝（１＋ｘ） ｎ－１（ｘ＞－２，ｎ∈ Ｎ＋且ｎ＞１）．问：是否存在区间［ａ，ｂ］（－∞，０］，使 函数ｈ（ｘ）＝ｆ３（ｘ）－ｆ２（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的值域为 ［ｋａ，ｋｂ］？若存在，求出最小的ｋ值及相应的区间［ａ，ｂ］； 若不存在，请说明理由． 解：假设存在满足条件的区间［ａ，ｂ］，则 ｈ（ｘ）＝ ｆ３（ｘ）－ｆ２（ｘ）＝ｘ（１＋ｘ） ２，所以ｈ′（ｘ）＝３ｘ２＋４ｘ＋１． 令ｈ′（ｘ）＝０，得ｘ＝－１或ｘ＝－１３． 可知ｈ（ｘ）在区间（－２，－１）上单调递增，在区间 －１，－１( )３ 上单调递减，在区间 －１３，＋( )∞ 上单调 递增，且 ｈ（ｘ）极大值 ＝ ｈ（－１） ＝ ０，ｈ（ｘ）极小值 ＝ ｈ －１( )３ ＝－ ４ ２７． 由题易知ｋ＞０，ｂ＝０． ①当－１３≤ａ＜０时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（ａ）＝ｋａ，即ａ（１ ＋ａ）２ ＝ｋａ，所以ｋ＝（１＋ａ）２≥ ４９； ②当 －４３≤ ａ≤－ １ ３时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｈ － １( )３ ＝ －４２７＝ｋａ，ｋ＝－ ４ ２７ａ，所以 １ ９≤ｋ≤ ４ ９； ③当ａ≤－４３时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（ａ）＝ａ（１＋ａ） ２ ＝ ｋａ，ｋ＝（１＋ａ）２≥ １９，其中ａ＝－ ４ ３时取等号． 综上，ｋｍｉｎ ＝ １ ９，此时［ａ，ｂ］＝ － ４ ３，[ ]０． 点评：本题涉及函数、导数、函数值域、不等式等知 识，是融“新定义迁移、综合性、开放性、探索性”于一体 的函数与导数探索性问题，重在考查导数知识以及数形 结合思想的综合运用． 书 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数 求切线方程的关键在于求出切点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）及斜率，其 求法为： 设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上的一点，则以Ｐ为切 点的切线方程为：ｙ－ｙ０ ＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．若曲线ｙ＝ ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））的切线平行于ｙ轴（即导数不存 在）时，由切线定义知，切线方程为ｘ＝ｘ０． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例１曲线ｙ＝ｘ３－３ｘ２＋１在点（１，－１）处的切线 方程为 （　　） （Ａ）３ｘ－ｙ－４＝０　　　　　（Ｂ）３ｘ＋ｙ－２＝０ （Ｃ）４ｘ＋ｙ－３＝０ （Ｄ）４ｘ－ｙ－５＝０ 分析：显然点（１，－１）就是切点，只需求出切线的 斜率即可． 解：由ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ，得斜率ｋ＝ｆ′（１）＝－３． 故所求的切线方程为ｙ－（－１）＝－３（ｘ－１）， 即３ｘ＋ｙ－２＝０．故选（Ｂ）． 点评：此类题较为简单，只需求出曲线函数的导数 ｆ′（ｘ）及切线斜率，并代入点斜式方程即可． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 例２与直线２ｘ－ｙ＋４＝０平行的抛物线ｙ＝ｘ２的 切线方程是 （　　） （Ａ）２ｘ－ｙ＋３＝０ （Ｂ）２ｘ－ｙ－