第03课 奇偶性、周期性与对称性（学案+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第03课 奇偶性、周期性与对称性-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求： 1. 理解函数奇偶性的含义. 2. 了解函数的最小正周期的含义. 3. 会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 一、【考点逐点突破】 【考点1】偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；图象关于y轴对称. 【典例】判断函数f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的奇偶性． 【解析】因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 【反思】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 【考点2】奇函数: 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数; 关于原点对称. 【典例】函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 【解析】由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数． 故选C. 【反思】奇函数的定义域如果包含“0”，则一定有f(0)＝0. 【考点3】周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 【典例】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________． 【解析】因为f(x＋4)＝f(x－2)， 所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期． 所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)． 又f(x)在R上是偶函数， 所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6. 【反思】1.函数周期性的常用结论.对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 【考点4】最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【典例】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________． 解析】因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2. 所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<， 所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin. 【反思】最小正周期往往在三角函数的地方出现得多. 【考点5】对称性 【典例】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2,0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． 故选ACD. 【反思】对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【考点6】判断函数的奇偶性 【典例】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝＋ (2) f(x)＝log2(x＋). 【解析】(1)由 得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－