2023年九年级中考数学复习培优讲义 二次函数 综合题

二次函数 综合 一、二次函数与几何综合：线段、周长最值 1．视未知为已知，建立函数最值模型 2．结合最短路径（将军饮马）的方法解题 例1-1、已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值． 例1-2、已知抛物线经过点和点． （1）求此抛物线解析式； （2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值． 练1-1、如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线过A、B两点． （1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？ 练1-2、如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．当时， （1）求直线与抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； 练1-3、已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，为顶点，点关于直线的对称点为． （1）如图①，若点是对称轴上的动点，当取得最小值时，求点的坐标． （2）如图②，连接，点是轴上一动点，求△CQD周长的最小值； 二、二次函数与几何综合：面积最值 1．铅垂法：． 分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长； （3）利用二次函数配方求最值． 2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使． 例2-1、如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标； 例2-2、已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为，点，点，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）在x轴下方且在抛物线上有一动点F，求四边形OBFC的面积最大值． 　　　　　　　　　　　　　 练2-1 如图，已知抛物线经过点、、三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN//y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 练2-2 如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； 三、二次函数与几何综合：等腰三角形存在性的判定 例3、 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式； （2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 练3-1、 如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 练3-2、如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 练3-3、如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D． (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 四、二次函数与几何综合：直角三角形存在性的判定 例4-1、如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，D是抛物线的顶点，连接，， （1）求点D的坐标及直线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点，E为上一动点，延长交轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角