2023年九年级中考数学复习培优讲义 -二次函数

二次函数 知识导航 一、二次函数的定义 1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零． 二、二次函数的图象和性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④，其中； ⑤.（以上式子a≠0） 2．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点． 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值． 3．待定系数法求二次函数解析式 （1）一般式： 已知图象上三点、、时 （2）顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴时 （3）两点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标时 （4）对称式： 已知抛物线经过点、时 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 题型讲练 （一） 二次函数的概念 例1-1、若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝　 　． 练1-1、函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝　 　时，它为正比例函数；当m＝　 　时，它为一次函数；当m　 　时，它为二次函数． （二） 二次函数的图像和性质 例2-1、如图2-2，抛物线①②③④对应的解析式为，，，，将、、、从小到大排列为______． 例2-2、一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 练2-1、已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 练2-2、若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 练2-3、下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（　　） A． B． C． D． 练2-4、若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　） A．有最大值． B．有最大值﹣． C．有最小值． D．有最小值﹣． 三、二次函数的图象判断 （一）．二次函数图象与系数的关系 1. 二次项系数：决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小 二次函数中，作为二次项系数，显然．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下。越大，开口越小。 2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在轴上方；当时，抛物线与轴的交点为坐标原点；当时，抛物线与轴的交点在轴下方。 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． （二）．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式． （7）根据抛物线的顶点，判断的大小． 题型讲练 （三） 二次函数图像信息判断 例3-1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0． A．1个