2023年九年级中考数学复习培优讲义-一元二次方程

一元二次方程 知识导航 一、一元二次方程 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程 一般形式：，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 二、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程． （2）配方法：一般步骤是：①二次项系数化为1； ②常数项右移； ③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成的形式． ⑤若，直接开平方得出方程的解． （3）公式法： 一元二次方程 根的判别式： 有两个不相等的实根:（）抛物线与轴有两个交点 有两个相等的实根抛物线与轴有一个交点 无实根抛物线与轴没有交点 注意：用公式法解一元二次方程必须先把方程化为一般形式，确定a、b、c的值后再套用公式 （4）因式分解法： 右化零，左分解，两因式，各求解 三、一元二次方程根与系数的关系 1．韦达定理： 如果的两根是，，则，．（使用前提：） 当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 2．韦达定理的逆定理： 如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根． 特别地，以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是． 3．韦达定理与根的符号关系：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值； ②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根； ②若，则此方程的两根均为负根． 四、一元二次方程的应用 增长率问题、“每每型”问题、几何面积问题、传播问题、循环问题等 题型讲练 （一）一元二次方程的定义 例1-1、若是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ） A．0 B．2 C．-2 D．±2 练1-1、若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A．0 B．±1 C．1 D．–1 （二）一元二次方程的解及解法 例2-1、方程有两个实数根，则的取值范围（ ） A． B．且 C． D．且 例2-2、已知a是一元二次方程的根，求下列各式的值： ①； ②； ③ 例2-3、 例2-4、设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3 C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β 练2-1、解方程：3x2﹣2x﹣2＝0． 练2-2、设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 练2-3、关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　） A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2 （三）一元二次方程根与系数的关系 例3-1、一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 例3-2、关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ） A． B． C． D．0 例3-3、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 例3-4、已知x、y是正整数，并且，，则_________． 练3-1（1）若m，n是方程的两个实数根，则的值为_____ （2）已知a，b是方程的两个实数根，则的值为__________． （3）已知m、n是方程两个根，则 ______ 练3-2、关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    ) A．-1或5 B．1 C．5 D．-1 练3-3、（1）a，b是不相等的实数，且，，求的值． （2）如果实数a，b分别满足，，求的值． （四） 一元二次方程的实际应用 类型一 变化率问题 例4-1、某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．25% C．30% D．36% 练4-1、某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 类型二 每每问题 例4-2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（　　） A．5元 B．10元 C．20元 D．10元或20元 练4-2、直