2023年九年级中考数学复习培优讲义 -分式方程

分式方程 知识导航 一、分式方程的基本解法 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根． 二、分式方程的增根和无解 1．分式方程的增根 （1）何为增根 解分式方程需要通过“去分母”将其转化为整式方程，若解得的整式方程的根会使原分式方程的分母为零，那么此根为分式方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． 2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 题型讲练 （一） 分式方程的解法 例1-1、（1） 练1-1、（2） （二） 分式方程含参问题 例2-1、（1）若关于x的分式方程有增根，则增根是________． （2）如果分式方程出现了增根，那么k的值为________． （3）若分式方程产生增根，则m的值为________． （4）如果解方程时出现增根，则m的取值为________． 例2-2、（1）若关于x的方程无解，则a的值是___________． （2）若关于x的分式方程无解，则___________． （3）若关于x的方程无解，求a的值． 例2-3、（1）若关于x的方程的根为正数，则m取值范围为________． （2）若关于的分式方程的解是非负数，则a取值范围是________． （3）若关于x的方程的解为正数，则a取值范围为_______． 练2-1 ⑴若分式方程：有增根，则的值为__________ ⑵若关于的分式方程无解，则的值为_________ ⑶若分式方程的解是正数，求的取值范围. ⑷解关于的方程 练2-2、若关于x的方程与有一个解相同，则a的值为（　　）[来源:学科 A．1　　　　　　B．1或﹣3　　　　　　C．﹣1　　　　　　D．﹣1或3 （三） 分式方程的应用 练3-1、甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时．则所列方程是( ) A．+20= B．＝+20 C．+＝ D．＝+ 练3-2、施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 练3-3、某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？ 巩固练习 1、当式子的值为零时，x的值是（ ） A． B． C． D．或 6、市到市的距离约为，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从市去市．小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍． （1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程答案） （2）当小刘出发时，求小张离市还有多远． 7、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A． ； B． ； C．+4=9； D．； 8、为了迎接“五•一”小长假的购物高峰．某服装专卖店老板小王准备购进甲、乙两种夏季服装．其中甲种服装每件的成本价比乙种服装的成本价多20元，甲种服装每件的售价为240元比乙种服装的售价多80元．小王用4000元购进甲种服装的数量与用3200元购进乙种服装的数量相同． （1）甲种服装每件的成本是多少元？ （2）要使购进的甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣