2023年九年级中考数学复习培优讲义 二次根式

二次根式 知识导航 一、二次根式的基本概念 1．二次根式： 二次根式的概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数． 二次根式的基本性质：⑴（）双重非负性； ⑵（）； ⑶ 2．n次根式：形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足． 3．最简二次根式： 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含有能开方的因数或因式． 4．两个重要性质： ； 5．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式． 二、二次根式的运算 1．乘除法：；． 2．加减法：，． 3．混合运算：遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用． 4．乘法公式的推广： ①； ②； ③． 5．二次根式的分母有理化 定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程． 方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）． 6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：． （2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．例：． （3）分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求． 三、二次根式的大小比较 1．估算法：，，． 2．平方法：若（且），则． 3．带分母的二次根式比较大小： （1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小． （2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小． 4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小． *四：二次根式的配方 配方： ． 题型讲练 （一） 二次根式有意义的条件（求取值范围） 例1-1、若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1且m≠2 C．m≥1且m≠2 D．m≠2 练1-1 若使式子成立，则x的取值范围是（　　） A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5 练1-2 等式成立的条件是（　　） A．a≠1 B．a≥3且a≠﹣1 C．a＞1 D．a≥3 （二） 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数） 例2-1、已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为　　． 练2-1 若a，b为实数，且，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7 练2-2 已知：，求的平方根 练2-3 已知， （1）求a+b的值； （2）求7x+y2020的值． （三） 二次根式的性质及化简 例3-1、已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 例3-2、若1≤x≤4，则化简的结果为（　　） A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3 练3-1 与根式﹣x的值相等的是（　　） A． B．﹣x2 C． D． 练3-2 把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（　　） A． B． C． D． 练3-3 若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（　　） A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c （四） 二次根式估值 例4-1、已知的整数部分为，小数部分为，求的值. 例4-2、是的小数部分，求的值. 练4-1、已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5 练4-1、 练4-2、 *（五） 双重二次根式化简（配方法） 形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b） 例5-1、化简： 例5-2、化简： 练5-1、化简： 练5-2、化简： 巩固练习 6. 已知，确定的取值范围 7. 已知为的三边长，化简： 8. 化简： 学科网（北京）股份有限公司 $