考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用等比数列的定义求通项 考点二 等比数列中an与Sn的关系 考点三 等比数列基本量的运算 考点四 等比数列的证明 考点五 等比数列的性质及其应用 （一）等比中项的应用 （二）利用等比数列的性质计算 考点六 等比数列前n项和性质的应用 （一）等比数列的片段和性质的应用 （二）等比数列奇偶项和的性质 考点七 等比数列的单调性与最值问题 考点八 等比数列的实际应用 考点九 等差数列、等比数列的综合问题 考点十 等比数列与其他知识的交汇 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2). 注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. (2) 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方. 2. 等比中项与等差中项的异同 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 3. 等比数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积. (2) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 ①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． ②任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． (3)前n项和公式：Sn＝ 当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点. 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． (4)等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. （Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.且系数与常数互为相反数．） 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 4. 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解； （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}