考点29 等差数列及其n项和12种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点29 等差数列及其前n项和12种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 利用定义求等差数列的通项公式 考点二 利用Sn与an的关系求等差数列通项公式 考点三 等差数列的基本运算 （一）等差数列通项公式及其应用 （二）等差数列前n项和的有关计算 （三）与数学文化的结合 考点四 等差数列的判定与证明 考点五 等差数列的性质 （一）等差中项的应用 （二）利用等差数列性质计算及应用 考点六 等差数列前n项和的性质 （一）等差数列前n项和与中项性质 （二）等差数列片段和的性质 （三）等差数列前n项和与n的比值问题 （四）两个等差数列前n项和的比值问题 （五）等差数列偶数项或奇数项的和 考点七 含绝对值的等差数列的前n项和 考点八 含取整符号的等差数列的前n项和 考点九 等差数列前n项和的最值问题 考点十 等差数列中的单调性与最值问题 考点十一 等差数列的综合问题 考点十二 等差数列的实际应用 1. 等差数列的概念 (1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d (n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋). 注：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1. (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2. 等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数. (2)等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． (3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. 该式又可以写成Sn＝n2＋n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. 3. 等差数列的前n项和公式与函数的关系 (1)Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n (2)数列是等差数列⇔（为常数）．若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列. (3)当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. 4. 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 5.解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 6.特殊设法: 三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便. 7.由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 8.等差数列的判定与证明方