专题12 函数与方程（11种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题12 函数与方程 【命题方向目录】 命题方向一：求函数的零点或零点所在区间 命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围 命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 命题方向四：嵌套函数的零点问题 命题方向五：函数的对称问题 命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型 命题方向七：唯一零点求值问题 命题方向八：分段函数的零点问题 命题方向九：零点嵌套问题 命题方向十：等高线问题 命题方向十一：二分法 【2024年高考预测】 2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想． 【知识点总结】 1、函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点． （3）函数零点存在定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 2、二分法 （1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下： ①确定区间，验证，给定精确度； ②求区间的中点； ③计算； a．若，则就是函数的零点； b．若，则令（此时零点）； c．若，则令（此时零点）． ④判断是否达到精确度，即：若，则得到零点近似值（或）；否则重复②③④． 【方法技巧与总结】 1、若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点． 2、连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． 3、连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号． 4、连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出． 【典例例题】 命题方向一：求函数的零点或零点所在区间 例1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（    ） A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或 例2．（2023·北京·高三统考学业考试）函数的零点是（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 变式2．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知是函数的一个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围 例4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8．（2023·陕西汉中·统考一模）若函数的两个零点是，则（    ） A． B． C． D．无法判断 【通性通解总结】 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 例7