专题13 函数模型及其应用（5种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

专题13 函数模型及其应用 【命题方向目录】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 题型二：对勾函数模型 题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 题型四：已知函数模型的实际问题 题型五：构造函数模型的实际问题 【2024年高考预测】 2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考查． 【知识点总结】 1、三种函数模型的性质 函数 性质 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2、几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 【方法技巧与总结】 1、解函数应用问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 【典例例题】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 例1．（2023·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入是单位产量的函数：，则总利润的最大值是______万元．（总利润＝总收入－成本） 例2．（2023·甘肃兰州·高三统考阶段练习）某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________. 例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定远县第三中学校考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm. 变式1．（2023·全国·高三专题练习）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________才可驾车. 变式2．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，若年收入元）与年产量（件）的关系式，则当年利润最大时，每年生产产品的件数是___________. 变式3．（2023·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元. 【通性通解总结】 1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏． 题型二：对勾函数模型 例4．（2023·黑龙江·高三嫩江市高级中学校联考开学考试）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（    ） A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 例5．（2023·山东青岛·高三校考阶段练习）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应____