考点32 数列求和8种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点32 数列求和8种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 公式法求和 考点二 分组转化法求和 （1） 等差+等比型求和 （2） 等差（等比）+裂项 （3） 绝对值求和（分段求和） （4） 奇偶型求和 （5） 正负相间求和(并项求和） 考点三 倒序相加法求和 考点四 错位相减法求和 （一）等差等比 （二）等差/等比 考点五 裂项相消法求和 （一）等差型 （二）无理型 （三）指数型 （四）对数型 （五）幂型 （六）三角函数型 （七）通项与前n项和、前n项积关系型 （八）正负相间型裂项 （九）先放缩后裂项求和 考点六 插入或构造新数列求和 考点七 利用周期求和 考点八 数列求和的实际应用 （一）分期付款 （二）产值增长 （三）其他模型 1.公式法 公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. ①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ ③数列前项和重要公式： （1） （2） （3） （4） （5）等差数列中，； （6）等比数列中，. 2.分组转化法 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． 注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3.倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注：倒序求和，多是具有中心对称的 4.错位相减法 错位相减求和方法 (1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn； (2)基本步骤 (3)四步法 用错位相减法求数列前项和过程可概括为“一加、二乘、三减、四除”八字,以为例 第一步——“一加”. “一加”,即将数列的各项展开相加,对于数列有 第二步——“乘”. “二乘”,即对数列的每一项都乘上等比数列的公比,对于,包含的等差数列的通项为,等比数列的通项为,公比为,故有 第三步—“减”. “三减”,用“一加”所得等式减去“二乘”所得等式,相减过程注意错位,即. 第四步——“四除”. “四除”,将“三减”所得等式的两边同时除以相同系数,再整理结果,可得. (4)注意事项： ①注意题目类型,特别是数列中等比数列公比为负数的情形; ②在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn； ③若等比数列的公比为参数,则需要讨论公比为1和不为1两种情形. ④作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成； ⑤运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．　 (5)通法探究即万能公式 从上述对错位相减法的构建过程的探究中可知,该过程较为固定,故可将其整理为适用的万能公式,后续直接代人即可求解. 即对于可分为等