重难点专项突破01二次函数的最值（5种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

重难点专项突破01二次函数的最值（5种题型） 【题型细目表】 题型一：利用二次函数的对称性求最短路径 题型二：面积最值问题 题型三：最大利润问题 题型四：线段最值问题 题型五：周长最值问题 【考点剖析】 题型一：利用二次函数的对称性求最短路径 一、单选题 1．（2020秋·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·安徽安庆·九年级校考期中）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　） A．2 B．3 C．5 D． + 二、填空题 3．（2020·安徽安庆·统考模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____． 4．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=-x2-2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为__________． 5．（2021·安徽·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(m﹣4，0)和B(m，0)，与直线y＝﹣x+p相交于点A和C(2m﹣4，m﹣6)，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为_____． 6．（2023春·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米． （1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是_____． （2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是_____． 7．（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________． 三、解答题 8．（2020·安徽·统考模拟预测）如图，二次函数的顶点的坐标为． (1)求，的值； (2)已知点为抛物线上异于的一点，且点横、纵坐标相等，为轴上任意一点，当取最小值时，求出点坐标和此时的面积． 9．（2021秋·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)． （1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比； （3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 10．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线. （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 11．（2021·安徽·统考三模）如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 12．（2021秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，它与轴的另一交点为，与轴的交点为. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）在直线上求点，使的周长最小，并求出的周长. 题型二：面积最值问题 一、单选题 1．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，将一张边长为1的正方形纸折叠，使得点B始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（    ）