2023年 九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题 考前冲刺专题训练

2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》考前冲刺专题训练（附答案） （共12小题，每小题10分，满分120分） 1．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 2．如图，在中，，，把射线绕点旋转得到射线，设旋转角为，作点关于直线的对称点，射线交射线于点，连接、、，交于点． （1）如图1，当时，的形状是_______，的值为_______． （2）当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2或图3的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． 3．给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形． 证明： （1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 探究： （2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由． 拓展： （3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值． 4．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法． 动手操作：如图①，矩形纸片ABCD的边AB＝2，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF，然后展开，EF与AC交于点H； 如图②，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在对角线AC上，且点B与点H重合，展开图形，折痕为AG，连接GH； 若在图①中连接BH，得到如图③，点M是线段BH上的动点，点N是线段AH上的动点，连接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH； 若在图②中连接BH，交折痕AG于点Q，隐去其它线段，得到如图④． 解决问题： （1）在图②中，∠ACB＝ ，BC＝ ，＝ ，与△ABG相似的三角形有 个； （2）在图②中，AH2＝AE· （从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论； （3）在图③中，△ABH为 三角形，设BM为x，则NH＝ （用含x的式子表示）； 拓展延伸： （4）在图④中，将△ABQ绕点B按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，连接DQ′，则DQ′的最小值为 ，当tan∠CBQ′＝ 时，△DBQ′的面积最大值为 ． 5．图1，点是内的一点，连结、，，将绕点顺时针旋转得，射线交线段于点，射线交线段于点． （1）求证：． （2）如图2，若，且，，求四边形周长的最小值． （3）如图3，若为等边三角形，，，求与的一边平行时的长． 6．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________； （2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； （3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，． ①求证：四边形为圆美四边形； ②若，，，求的最小值． 7．已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点． （1）如图1，求证：BE－AE＝CG； （2）如图2，连接DF，DE．若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝，求FC的值． 8．【问题提出】已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？ 【问题转化】 （1）已知：如图1，中，是内角平分线．求证：； （2）已知：如图2，内接于，延长的内角平分线交于点．求证：； 【问题解决】 （3）已知：如图3，中，，，，是的内角平分线．求的长； （4）已知：如图3，中，，，，是的内角平分线．请直接写出求的计算公式：__________． 9．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 10．【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角