上海市大同中学2023届高三三模数学试题

2023届大同中学高三三模数学试卷 一、填空题 1. 已知平面向量，，若，则___． 2. 若复数为纯虚数，则实数______． 3. 已知抛物线：上，则抛物的准线方程为______. 4. 已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为______． 5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边记作a、b、c．已知，，则______． 6. 北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为______． 0627 4313 2636 1547 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 7. 在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______． 8. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同.现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，那么这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为___________. 9. 已知，，若，则满足条件x的取值范围是______． 10. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______． 11. 已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______． 12. 若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是______． 二、选择题 13. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数为（ ） A. B. C. D. 14. 设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线 A. 不存在 B. 有1条 C. 有2条 D. 有无数条 16 曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且． （1）求证：BE⊥平面； （2）求二面角的大小． 18. 已知函数，. （1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围； （2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标. 19. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图： 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响． （1）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望； （2）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差与的大小． 20. 如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 21. 设函数． （1）设，求函数的单调区间； （2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； （3）设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得. 2023届大同