2023届高三数学解答题专项突破训练：数列奇偶项求和问题

高三解答题专项突破：数列奇偶项求和问题 1．已知等比数列的公比，前n项和为，满足：. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知等差数列满足，． (1)求； (2)数列满足，为数列的前项和，求． 3．设数列满足：是的等比中项. (1)求的值； (2)求数列的前20项的和. 4．已知数列，，为数列的前n项和，，若，，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求. 5．已知数列的前项和，等比数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 6．记数列的前n项和为，已知，，． (1)求，t； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式得到关于基本量的方程组，解之即可求得； 法二：利用等比数列的性质和前项和公式依次转化得到关于的方程组，解之即可求得； （2）分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得. 【详解】（1）法一： 因为是公比的等比数列， 所以由，得，即， 两式相除得，整理得，即， 解得或，又，所以，故， 所以， 法二：因为是公比的等比数列， 所以由得，即，则，，解得或（舍去）， 故，则，所以. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 2．(1) (2) 【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求； （2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，．则，解得， 所以． （2）由（1）可得， 则 ， 所以. 3．(1)1； (2)6108. 【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解； （2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）由已知，， 又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得； （2）是奇数时，，， ，而， 所以数列是等比数列， ． 4．(1)， (2) 【分析】（1）对已知条件因式分解后结合等比数列的性质得出的通项公式，先证明为等差数列，进而得出的通项公式； （2）求出的通项公式，再由错位相减法得出. 【详解】（1）解：， 因为，所以， 又，所以是公比为2，首项为2的等比数列， ，， ， 综上，是公差为1，首项为1的等差数列， ． （2）解：令， ①②，得， ， ． 5．(1)， (2) 【分析】（1）根据求得通项公式，进而得，，再计算的公比与首项，求解通项公式即可； （2）结合（1）得，进而得，再结合等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 又时，也成立， 所以，， 所以，，， 所以，等比数列的公比为，， 所以， （2）解：因为，即， 所以 所以，数列的前项和 6．(1)，t＝2 (2) (3) 【分析】（1）利用递推公式求出前4项，然后结合已知解方程组可得； （2）分n为奇数和偶数，利用递推公式可得； （3）分组求和即可. 【详解】（1）由（）可得，，，， 又，，则解得，t＝2． （2）由（）可得， 当n为奇数时，，所以数列的奇数项是一个公差为3的等差数列，又，则； 当n为偶数时，，所以数列的偶数项是一个公差为3的等差数列，又，则， 则． （3） ． ，则， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 $