12 正余弦定理与解三角形专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习

目录 正余弦定理专题讲义 2 一、知识梳理 2 二、典型例题 4 三、题型分类 5 题型一 求边角 5 题型二 求面积 8 题型三 求最值 13 题型四 劣构型 16 正余弦定理专题讲义 一、知识梳理 一、正弦定理定义： 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即：. 2、正弦定理与外接圆： 若一个三角形的外接圆半径为，则正弦定理可扩展为：. 3、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 4、解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： 5、三角形面积公式： 二、余弦定理 1、三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即 或， 或， 或. 2、余弦定理的有关问题： （1） 勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中分别令，，为，上面关系式分别化为勾股定理形式． （2） 在中，若，则，反之也成立。 在中，若，则，反之也成立。 在中，若，则，反之也成立。 【方法总结】 1.正弦定理的选取 总结：（1）边角互换（边长与对应角的正弦值） （2）已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角 （3）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角 2.余弦定理的选取 总结：（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 二、典型例题 例1.在中,,则 （A） （B）或 （C） （D）或 练1.在△中,,,,则____. 练2.在中,,,则=_______. 练3.在中,,,,则. 练4.在中,.①_____;②若,则____. 例2.在中,角,,的对边分别是,,.若,,,则____. 练5.在中,,,,则. 例3.如图,在四边形中,,,,,,则;三角形的面积为___________. 例4.在中,则 练6.在中角,,的对边分别是,,,若,则. 三、题型分类 题型一 求边角 1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.[ （Ⅰ）求角A的大小; （Ⅱ）若,,求的值. 2.在中,内角所对的边分别为.已知,,的面积为9. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）求及的值. 3.在中,角所对的边分别为,,. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求的值. 4.在中,的角平分线 （Ⅰ）求的大小; （Ⅱ）求的长. 5.如图,在中,点在边上,且记, （Ⅰ）求证:; （Ⅱ）若,,求的长. 题型二 求面积 1.在△中,角的对边分别为,且,. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求△的面积. 2.在中,角的对边分别是,已知 （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若角为锐角,求的值及的面积 3.在中,已知,. （Ⅰ）若,求的面积; （Ⅱ）若为锐角,求的值. 4.在中,内角的对边分别为,,,且. （Ⅰ）求角的值; （Ⅱ）若,,求△的面积. 5.在中,已知. （Ⅰ）求的大小; （Ⅱ）若,,求的面积. 6.如图所示,在中,是边上的一点,且,,,. （Ⅰ）求; （Ⅱ）求的长和的面积. 题型三 求最值 1.在锐角中,. （Ⅰ）求∠A的大小; （Ⅱ）求的取值范围. 2.在△中,角的对边分别为,且. （Ⅰ）求角的大小; （Ⅱ）求的取值范围. 3.在△中,. （Ⅰ）若,求; （Ⅱ）求的最大值. 题型四：劣构型 1.在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值． 条件①：，边上中线的长为； 条件②：，的面积为6； 条件③：，边上的高的长为2． 2.在△中，，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：△的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3.在△中，. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△存在. 求 △的面积. 条件①：； 条件②：. 4.在△中，. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 正余弦定理专题讲义 2 一、知识梳理 2 二、典型例题 4 三、题型分类 5 题型一 求边角 5 题型二 求面积 8 题型三 求最值 13 题型