1.1正弦定理教学设计 -2022-2023学年高二下学期数学北师大版必修5

正弦定理教学设计（第一课时） 1、 教学背景分析 1.教材分析 教材:《正弦定理》是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(北师大版) 教学内容:第二章，解三角形，第一节正弦定理与余弦定理。 本节内容是正弦定理的第一课时，既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。 2.学情分析 针对于高二的学生，此时，学生已学习过平面几何、解直角三角形、三角函数、向量等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的有强有力工具。 2、 教学目标 1.知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理及相应方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 掌握正弦定理，能够利用向量证明正弦定理，并能运用定理解三角形。 2.过程与方法 让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现和创造的历程，并在过程中初步学会应用由特殊到一般的思想方法发现数学规律。 3.情感、态度与价值观 培养学生联想与迁移的能力，探索与创新的意识，反映事物之间的必然联系及一定条件下相互转换的可能，从而从本质上反映事物之间的内在联系。 3、 教学重难点 教学重点:正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点:用向量的知识证明正弦定理。 4、 教学方法与手段 专以学生发展为本，引导学生主动参与的原则，遵照学生的认识规律，倡导学生自主探索合作交流与实践创新的教学方式，采用探究式课堂教学。主要采用讲授法，启发法等方法结合多媒体以讲练结合的方式进行教学。 让学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中边与其对角的关系，引导学生通过直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，由特殊到一般得到正弦定理。然后引导学生利用向量知识证明正弦定理。学生初步了解正弦定理之后，通过例题的讲解，加深学生对于正弦定理的理解，最后以课后作业和思考题的方式，巩固本节所学知识以及启发学生探究更多的正弦定理的证明方法。 5、 教学过程 1.知识点回顾 带领学生回顾已经学习过的三角形的相关基础知识。 ①三角形的基本量：每个三角形必定有三个角和三条边； ②角的关系：（三角形内角和定理） 三角形内角之和必定为，所以 ， 因此可以得到 和 ； ③边的关系：三角形两边之和大于第三边，即 ； ④边角关系：大边对大角，大角对大边，即。 2.问题提出 在复习了三角形的相关基础知识之后，我们发现，三角形的边与角没有明确的数量关系，由此提出问题：三角形的边与角之间有什么数量关系？ 在如图直角三角形中，，我们可以发现： ， 将上述三个式子变形得到， ， 整理可得：。 那么，上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？ 3.分析理解 要讨论上述式子能否在任意三角形中成立，需要再讨论当三角形为为锐角三角形和钝角三角形时的情况。 先探究在锐角三角形中的情况： ( D )在如图所示锐角三角形中， 首先，， 如图，我们可以得到： ，， ，整理后， ，所以得到，， 所以在锐角三角形中仍然成立，接下来继续讨论在钝角三角形中的情况。在钝角三角形中的证明过程与锐角三角形类似： 在如图所示钝角三角形中， ， 得到：， ( D ) ， ，整理后， ，所以得到，， 所以在钝角三角形中仍然成立。 3.总结归纳 由上述讨论我们可以发现：在直角、锐角、钝角三角形中均成立，所以该式可以推广到任意三角形， 即为正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等， 即。 4.利用向量的方法证明正弦定理 前面我们利用三角形的性质证明了正弦定理，那么，我们能否利用向量的方法证明正弦定理？ （等式两边同乘i化简得到） 让学生在课后利用同样的方法，在直角三角形与钝角三角形中证明正弦定理。 5. 例题讲解 例 1 解：由三角形内角和定理得：， 由正弦定理 得：,, 代入题中所给数据可得： 本题中，我们已知三角形的两个角和一条边，求其他角和边。通过例1的讲解，帮助学生掌握这种题型的解法。 例2 代入题中所给数据得到： 解得： 此时A不确定，根据大边对大角，大角对大边可得： 本题中，我们已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他角。通过例1的讲解，帮助学生掌握这种题型的解法。 在讲解的过程中随时强调解题过程的书写，以培养学生良好的习惯及严谨的工作作风。 6.课堂小结 回顾本节课的知识点，便于学生加深印象，查漏补缺。 ①正弦定理的公式：； ②正弦定理的证明：利用三角形的性质或向量法证