第25讲 等比数列讲义-2023届高三数学一轮复习

第二十五讲 等比数列 一．核心知识 核心一：等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示． 核心二：等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项． 核心三：等比中项 若，那么叫做与的等比中项． 核心四：等比数列的常用性质 1．通项公式的推广：，． 2．若为等比数列，且，则 特别的：若则． 核心五：等比数列的前项和的公式 等比数列的公比为，其前项和为， 当时，； 当时，． 核心六：等比数列的前项和的性质 1．若项数为，则； 2．； 3．公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，．．．仍成等比数列，其公比为． 二．重难点题型 题型一：等比数列公式基本计算 【例1】若等比数列满足，，则=__________． 【变式】已知等比数列中，各项都是正数，且，,成等差数列，则(　　) A． B． C． D． 【例2】在等比数列中，已知，则等于 (　　)． A． B． C． D． 【例3】已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 题型二：等比数列的判定与证明 【例4】设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列； ②是等比数列； ③是等比数列； ④是等比数列． 其中正确命题的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若正数,,成公差不为零的等差数列，则（ ）． A． 成等差数列 B．成等比数列 C．成等数列 D．成等比数列 【例5】已知等比数列的公比为,记 则以下结论一定正确的是( ) ． A．数列为等差数列,公差为 B．数列为等比数列,公比为 C．数列为等比数列,公比为 D．数列为等比数列,公比为 【例6】已知数列满足 ． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的表达式． 【变式】已知数列的前项和为，数列中，，，且． (1)设，求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【例7】设数列的首项,且，记． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列,并证明你的结论． ． 题型三：等比数列性质 【例8】在等比数列中，公比，且前项和，则项数等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】已知等比数列满足，且，则当时， ( ) A． B． C． D． 【例9】已知为等比数列的前项和，且，则 ． 【例10】已知方程的四个根组成以为首项的等比数列，则＝(　　)． A． B．或 C． D．以上都不对 【例11】在等比数列中，若，，则 ( 　　) A． B． C． D． 【例12】已知数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则有(　　)． A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式】已知成等比数列，如果和都成等差数列，则=_______． 题型四：等比数列前项和 【例13】已知数列的相邻两项满足,且． (1)求证是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项和． 【变式】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为． （I）求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和． 题型五：等比数列综合及应用 【例14】已知数列的前项和为，， （1）设，求； （2）设，求数列的前项； （3）设，求. 【变式1】已知数列的前n项和为且 ，数列满足且． （1）求的通项公式； （2）求证：数列为等比数列； （3）求前项和的最小值． 【例15】已知数列满足 （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：． 【拓展】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设求数列的前项和． 课后作业 1．已知两个等比数列，，满足，，求数列的通项公式． ． 2．定义：在数列中，若满足（，d 为常数），称为“等差比数列”。已知在“等差比数列”中，则（ ）． A． B． C． D． 3．已知等比数列的公比且，又，则（ ）． A． B． C． D． 4．在数列中，，，如果是1与的等比中项，那么的值是 ． 5．设数列的前项和为，且首项． (Ⅰ)求证：是等比数列； (Ⅱ)若为递