专题32 等差数列-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题32 等差数列 考点一 等差数列基本量的计算 考点二 等差数列的证明 考点三 等差数列项的性质 考点四 等差数列前项和的性质 考点五 等差数列前项和的最值问题 考点六 等差数列前项和的二次函数特征 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 考点一 等差数列基本量的计算 例1．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列为递增的等差数列，为数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式和前n项求和公式，结合题意列出方程，整理方程，解之即可. 【详解】由题意知，设等差数列的公差为d，则， ，得， ， 得， 所以， 整理得，解得. 故选：D. 例2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可求得的值，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，，故. 故选：D. 例3．（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据等差数列公式计算得到答案. （2）确定，再根据分组求和法结合等差数列等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1），故，故. （2）， . 例4．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____． 【答案】/ 【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解. 【详解】解：， ∴， ∴， ． 故答案为： 例5．（2023春·河北·高三校联考期中）（多选）已知a为常数，等差数列的前n项和满足，则的值可能为（    ） A．4045 B．4046 C．4047 D．4048 【答案】AB 【分析】根据等差数列的前n项和满足，将前n项和公式和通项公式代入，求得首项和公差即可. 【详解】解：因为a为常数，等差数列的前n项和满足， 所以， 则，解得或 所以或 所以或4045， 故选：AB 考点二 等差数列的证明 例6．（2023春·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，则______. 【答案】 【分析】根据条件构造等差数列，进而求出结果. 【详解】∵数列的首项，且满足， ∴， ∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列， ∴. ∴. 故答案为：. 例7．（2023秋·山东青岛·高三校考期末）已知数列中，，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明； （2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式． 【详解】（1）因为，，所以，即， 所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，所以. 例8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列： 【答案】(1)，证明见解析 【分析】（1）根据证明为定值即可； 【详解】（1）由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，． (1)求证：数列是等差数列． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据，证明等于定值即可； 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， ∴ ， ∴是首项为，公差为的等差数列； 例10．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知各项均不为0的数列满足，. (1)求证