专题06 对数与对数函数-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题06 对数与对数函数 目录 题型一： 对数的运算 3 题型二： 对数函数的图像 4 题型三： 比较大小 6 题型四： 对数函数与不等式 7 题型五： 对数函数性质综合 9 知识点总结 对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN. ②loga＝logaM－logaN. ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 指数函数与对数函数的关系 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称． 【常用结论与知识拓展】 1．换底公式及其推论 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 例题精讲 对数的运算 【要点讲解】(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算. 　　 A． B． C． D． 计算的值为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 　 ． 求值： （1）； （2）． 对数函数的图像 【要点讲解】在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 已知函数①，②，③，④的大致图象如图所示，则　　 A． B． C． D． 已知函数，，的图象如图所示，则　　 A． B． C． D． 函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　 A． B． C． D． 比较大小 【要点讲解】 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 若，则　　 A． B． C． D． 已知，，，则　　 A． B． C． D． 已知，，，则　　 A． B． C． D． 设，，，则　　 A． B． C． D． 已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 已知，，则　　 A． B． C． D． 设，，，则　　 A． B． C． D． 已知，，有以下命题：①；②；③，其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 若实数，满足，则　　 A． B． C． D． 对数函数与不等式 【要点讲解】(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式. 不等式的解集是　 　．（用区间表示） 若，则的取值范围为 　 　． 已知实数满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 设函数，则满足的的取值范围是　　 A．， B．，， C．，， D．， 已知函数，若成立，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．，， D． 已知，且，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 已知函数，，，，有，则实数的取值范围是 　 　． 对数函数性质综合 【要点讲解】(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论; (2)底数与1的大小关系; (3