专题04 二次函数与幂函数-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题04 二次函数与幂函数 目录 题型一： 幂函数的图像与性质 4 题型二： 利用幂函数比较大小 5 题型三： 二次函数解析式 6 题型四： 二次函数单调性求参数 7 题型五： 二次函数最值问题 9 题型六： 二次函数恒成立问题 10 知识点总结 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) (3)幂函数y＝xα的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 二次函数 (1)二次函数解析式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 【常用结论与知识拓展】 1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 例题精讲 幂函数的图像与性质 【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是　　 A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 如图所示是函数，均为正整数且，互质）的图象，则　　 A．，是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．，是奇数，且 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数　 　． 已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点　　 A． B． C． D． 已知幂函数的图象过，，，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 若，则实数的取值范围　 　　． 关于的不等式的解集为　 　　． 已知幂函数在上单调递增，函数，，，，，使得成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 利用幂函数比较大小 【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 已知，，，则　　 A． B． C． D． 设，则，，的大小顺序是　　 A． B． C． D． 已知，若，则下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 已知幂函数满足（2），若，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 二次函数解析式 【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解 已知二次函数满足，（2）（1），若不等式有唯一实数解． （1）求函数的解析式； （2）若函数在，上的最小值为． ①求； ②解不等式 已知二次函数，，均为常数，，若和3是函数的两个零点，且最大值为4． （1）求函数的解析式； （2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立． 在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知函数，且 _______． （1）求的解析式； （2）若在，上的值域为，，求的值． 二次函数单调性求参数 【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动 若函数在，上是单调函数，则的取