专题03 函数的奇偶性、周期性、对称性-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题03 函数的奇偶性、周期性、对称性 目录 题型一： 函数奇偶性的判断 3 题型二： 函数奇偶性求值 4 题型三： 函数奇偶性求解析式 5 题型四： 函数奇偶性求参数 7 题型五： 函数奇偶性与不等式 7 题型六： 函数的周期性 9 题型七： 函数的对称性 10 题型八： 函数性质综合 12 知识点总结 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【常用结论与知识拓展】 1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 4．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 例题精讲 函数奇偶性的判断 【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x). (2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域) 判断下列函数的奇偶性，并说明理由． （1），，； （2），； （3）； （4）． 判断下列函数的奇偶性，并证明． （1）； （2）； （3），，； （4）； （5）； （6），． 函数奇偶性求值 【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 已知是奇函数，当时，，则的值为 　 ． 已知是奇函数，当时，，则的值是　　 A．8 B． C．4 D． 已知函数为奇函数，且当时，，则　　 A．1 B． C．2 D． 已知函数为奇函数，当时，，且，则　　 A． B． C． D．2 已知，且，( ) A． B． C． D． 已知函数，若，则( ) A． B． C． D． 已知函数且，则的值为 　 　． 函数奇偶性求解析式 【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 下列既是奇函数且在上单调递增的函数为　　 A． B． C． D． 已知定义在，上的奇函数，当时，，则的值为　　 A． B．8 C． D．24 已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为　 　． 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　 A． B． C． D． 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则　　 A． B． C． D． 已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数，都有；②对任意实数，，当时，都有．则函数的解析式可能为　　 A． B． C． D． 已知函数同时满足性质：①；②对于，，，则函数可能是　　 A． B． C． D． 函数奇偶性求参数 【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方