专题02 函数的单调性与最值-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题02 函数的单调性与最值 目录 题型一： 求单调区间 4 题型二： 判断函数的单调性 5 题型三： 函数单调性的应用——比较大小 6 题型四： 函数单调性的应用——解不等式 7 题型五： 函数单调性的应用——求参数 8 题型六： 函数单调性的应用——求最值 9 知识点总结 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论与知识拓展】 1．函数单调性的等价定义 设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．函数f(x)＝ax＋的单调性 若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 特别地，“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，]． 3．与函数运算有关的单调性结论 (1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性． (2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反． (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性． (4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数． (5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减． (6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”． 例题精讲 求单调区间 【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间. 函数的单调递减区间为　　 A． B． C． D． 函数的递增区间是　 ． 函数的增区间为 　 　． 函数的单调递减区间为 　 　． 函数的单调增区间是　 　． 函数的单调减区间为　 　． 已知函数，则的单调递增区间为 　 　． 求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间： （1）； （2）． 判断函数的单调性 【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间). 下列函数为增函数的是　　 A． B． C． D． 下列函数中，在区间上为增函数的是　　 A． B． C． D． 下列函数为增函数的是　　 A． B． C． D． 已知函数同时满足性质：①；②当，时，，则函数可能为　　 A． B． C． D． 已知函数． （1）若，求； （2）用定义法证明：函数在区间上单调递减． 已知，． （1）解不等式； （2）判断并证明函数的单调性． 已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为． （1）求，的解析式； （2）设，根据定义证明：在上为增函数． 函数单调性的应用——比较大小 【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决 设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，