专题01 函数的概念及其表示-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题01 函数的概念及其表示 目录 题型一： 具体函数定义域 3 题型二： 抽象函数定义域 4 题型三： 定义域求参数 5 题型四： 函数的值域 5 题型五： 求函数解析式 6 题型六： 分段函数求值 7 题型七： 分段函数求参数 8 题型八： 分段函数与不等式 8 题型九： 新定义 9 知识点总结 函数的概念 (1)函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的三要素 函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． 函数的表示法 解析法 图象法 列表法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数． 注意 关于分段函数的3个注意点 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数； (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； (3)各段函数的定义域不可以相交. 【常用结论与知识拓展】 1．几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合． 2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 4．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R. 例题精讲 具体函数定义域 【要点讲解】1.求具体函数定义域的策略 (1)构造使解析式有意义的不等式(组)求解即可; (2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义. 2.常见函数类型的限制条件 (1)分式型:要满足f(x)≠0; (2)根式型:(n∈N*)要满足f(x)≥0; (3)0次幂型:[f(x)]0要满足f(x)≠0; (4)对数型:logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0; (5)正切型:tan (f(x))要满足f(x)≠+kπ,k∈Z. 函数的定义域为　　 A．， B．，， C．， D．， 函数的定义域为 　 ． 函数的定义域为 　 　． 函数的定义域为 　 　． 抽象函数定义域 【要点讲解】本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围. (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出; (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 若函数的定义域为，，则函数的定义域为 　 　． 已知函数的定义域为，，则函数的定义域　　 A． B．，， C．，， D． 函数的定义域为，，则的定义域为　　 A．， B．，， C．， D．，， 已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　 A． B． C．， D．， 定义域求参数 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．，， 已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 　 　． 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 　 　． 已知函数的定义域为． （1）求实数的范围； （2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值． 函数的值域 【要点讲解】(1)分离常数法，形如y＝(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x)，然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围)； (2)换元法，形如y＝ax±b±，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域．若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式，可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围．对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法