专题09 函数模型的应用-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

专题09 函数模型的应用 目录 题型一： 函数图像信息 3 题型二： 应用函数模型解决实际问题 6 知识点总结 六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a为常数，a>0) 三种函数模型性质比较 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 【常用结论与知识拓展】 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”是先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”是先快后慢，其增长速度缓慢． 2．函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 例题精讲 函数图像信息 【要点讲解】(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象; (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应时），则下列说法中不正确的是　　 A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值 C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为，是基准声压为，是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为，对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是　　 A．音量同为的声音，的低频比的高频更容易被人们听到 B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C．的听觉下限阈值的实际声压为 D．的听觉下限阈值的实际声压为的听觉下限阈值实际声压的10倍 为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为为常数），函数图象如图所示．如果早上就有学生可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是　　 A． B． C． D． 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下： 等级 降雨量（精确到 小雨 中雨 大雨 暴雨 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线． （1）写出服药后与之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？ 应用函数模型解决实际问题 【要点讲解】(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数; (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数; (3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是　　 （参考数据：，，，． A．2027年 B．