第07讲 全称量词命题与存在量词命题-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第07讲 全称量词命题与存在量词命题 1．理解全称量词与存在量词的意义．　 2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别．　 3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别． 知识点一 全称量词命题与存在量词命题 1． 全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 ∀x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 ∃x∈M，p(x) 知识点二 全称量词命题和存在量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题：∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题：∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬p(x)”成立． 2．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立． 知识点三 存在(全称)量词命题真假的应用 1．直接判定命题的真假 命题 判定为真 判定为假 存在量词命题 找到一个特例 严格证明 全称量词命题 严格证明 找到一个反例 2．利用命题p和¬p的对立关系(真假性相反)判定． 考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 【总结】 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [注意]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 变式 (多选)下列语句是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2＞0. 【总结】 全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可； (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 变式 (多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 考点三：全称量词命题与存在量词命题的否定 例3 (1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 (2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 【总结】 全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论； (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 变式 设x∈Z，集合A为偶数集，命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定为(　　) A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A 考点四：存在(全称)量词命题真假的应用 例4 已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围． 【总结】 已知全称(存在)量词命题的真假求参