第06讲 充分条件、必要条件、充要条件-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第06讲 充分条件、必要条件、充要条件 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．　 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．　 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 知识点一 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 知识点二 充要条件 1．定义：如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2． 记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 (1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s； (2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s． 考点一：充分条件、必要条件的判断 例1 下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0. 【总结】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)命题判断法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． (2)定义法 若p⇒q，q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇒/ q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件． (3)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件． 变式 (多选)下列命题是真命题的是(　　) A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 考点二：充分条件与必要条件的应用 例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【总结】 充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤 (1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 变式 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 考点三：充要条件的判断 例3 　(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为(　　) A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0 B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c C．p：x＞5，q：x＞10 D．p：a＞b≥0，q：＞ (2)设A，B，U是三个集合，且A⊆U，B⊆U，则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【总结】 充要条件的两个判断方法 (1)定义法：若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇒/ q，q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件． (2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A＝B，则p是q的充要条件． 变式 以下选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 考点四：充要条件的证明 例4 求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－＜m＜0. 【总结】 充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． [注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 变式 已知a，b，c均为实数，证明“ac＜0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件． 考点五：充分条件、必要条件、充要条件的探求 例5 　(1)关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是(　　) A．m＜ B．m＜ C．m＜－ D．m＜－ (2)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab＞0中分别选