第05讲 命题、定理、定义-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第05讲 命题、定理、定义 1．理解命题的概念与命题的判断，理解命题的结构， 能判断命题的真假．　 2．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题． 知识点一 命题 1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题． 2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中__p__叫作命题的条件，__q__叫作命题的结论． 3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题． 知识点二 定理定义 1．定理：在数学中，有些已经被证明为的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 考点一：命题的概念 例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 【总结】 判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题； (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题． 变式 下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号). ①这里真热闹啊！②求证是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x＝2，则x2－1＞0. 考点二：判断命题的真假 例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1＜0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0. 【总结】 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证； (2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法． 变式 下列命题是真命题的是(　　) A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若ac3＞bc3，则a＞b 考点三：命题的结构形式 例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 【总结】 将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则 [注意]　若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式． 变式 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形． 考点四：由命题的真假求参数的范围 例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________． 【总结】 由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤 第一步，明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围． [注意]　若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集． 变式 若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，则B⊆A成立是真命题，求实数a的值． 考点五：新定义题 例4 对于a，b∈N，规定a*b＝集合M＝{(a，b)|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为(　　) A．6 B．8 C．15 D．16 【总结】 数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径． 变式 若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，∅属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合： ①＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是________. 1．下列说法正确的是(　　) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是