第03讲 子集、全集、补集-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第03讲 子集、全集、补集 1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．　 2．了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　 3．能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会Venn图对理解抽象概念的作用． 知识点一 子集、真子集 子集 真子集 概念 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB 或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A” 续表 子集 真子集 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C； (3)规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集 (1)若A B且B C，则A C； (2)若A⊆B且A≠B，则A B； (3)空集是任何非空集合的真子集 知识点二 全集、补集 1．全集 (1)概念：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集； (2)记法：通常记作． 2．补集 文字语言 设A⊆S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作∁SA(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 3．补集的性质 (1)若A⊆S，则①∁SA⊆S；②∁S(∁SA)＝A； ③(∁SS)＝∅；④∁S∅＝S. (2)已知A⊆S，B⊆S，相关结论如下： ①若A⊆B，则∁SA⊇∁SB；②若∁SA⊇∁SB，则A⊆B. 特别地，若A＝B，则∁SA＝∁SB；反之，若∁SA＝∁SB，则A＝B. 考点一：集合间关系的判断 例1 指出下列各对集合之间的关系． (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}． 【总结】 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系； (2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法． 变式 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空． (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 考点二：确定有限集合的子集、真子集及其个数 例2 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 【总结】 1．求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．若集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 变式 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 考点三：由集合间的包含关系求参数值 例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． 【总结】 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [注意]　(1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． 变式 （1）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． （2）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1