第26讲 平面向量的数量积及其应用（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第26讲 平面向量的数量积及其应用 1.向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ. 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 已知两个非零向量a与b,a在b上的投影为，投影向量为. 3.向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cosθ； (2)a⊥b⇔a·b=0； (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地, 或|a|=； (4)|a·b|≤|a||b|. 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 5.常用结论 设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O为△ABC的外心⇔||=||=||. (2)O为△ABC的重心⇔=0. (3)O为△ABC的垂心⇔. (4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. 考点一 利用定义法求平面向量数量积 考点二 转化法求平面向量数量积 考点三 转化法求平面向量的模 考点四 数量积和模求平面向量夹角 考点五 投影与投影向量 考点一：利用定义法求平面向量数量积 例1．设向量，的长度分别为4和3，夹角为120°，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积运算即可求出结果. 【详解】由题意得， 则， 故选：C. 考点二：转化法求平面向量数量积 例2．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在矩形中，，点P为的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解. 【详解】 故选：B. 考点三：转化法求平面向量的模 例3．如图所示，已知正方形的边长为，，则向量的模为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据图象以及向量模的运算求得正确答案. 【详解】由题意，可知， 所以 . 故选：B. 考点四：数量积和模求平面向量夹角 例4．已知，且，则向量，的夹角为（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】利用向量的模和向量的数量积公式，对向量的模进行平方，得到向量，的夹角的余弦值，从而求出夹角. 【详解】设向量，的夹角为， ，，即， ，，， ，. 故选：A. 考点五：投影与投影向量 例5．已知向量，则在方向上的数量投影为___________ 【答案】 【分析】根据平面向量投影的定义计算即可 【详解】向量， ， ， 所以 在 方向上的数量投影为 ； 故答案为： 例6．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是________． 【答案】 【分析】由，求得，再利用在上的投影向量定义求解. 【详解】解：因为，且， 所以 ，解得， 所以在上的投影向量是 ， 故答案为： 一、单选题 1．已知向屋，，，则（   ） A．30 B．18 C．12 D．9 【答案】C 【分析】求出向量的模，根据数量积的运算律，结合数量积的计算，即可求得答案. 【详解】由题意知，则， 则， 故选：C. 2．在四边形ABCD中，，已知，与的夹角为且，，则（    ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先用与表示，再求数量积得出结果. 【详解】如图，因为，所以四边形ABCD为平行四边形. 因为，所以， ， 已知，与的夹角为且， . . 故选：D. 3．如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】分别用基底，表示出，利用向量运算进行求解. 【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点， 所以,, 所以 因为是边长为4的等边三角形，为中线， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过转化法得，代入数据即可. 【详解】是边长为1的等边三角形,设,分别是边,的中点, 连接并延长到点，使得,如图, 则，， 则 ， 故选：B. 5．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】将通过平面向量基本定理转化到上,展开计算,再将代入即可求得. 【详解】